Розподіл Кантора
Шаблон:Розподіл ймовірностей Розподіл Кантора — розподіл ймовірностей, функція розподілу ймовірностей якого є функцією Кантора.
Цей розподіл не має ані функції густини ймовірності, ані функції ймовірностей, оскільки, хоча його функція розподілу є неперервною функцією, розподіл не є абсолютно неперервним щодо міри Лебега, а також не має точкових мас. Таким чином, він є ані дискретним, ані абсолютно неперервним розподілом ймовірностей, ані їхнім поєднанням. Він є швидше прикладом сингулярного розподілу.
Характеристика
Носієм розподілу Кантора є множина Кантора, власне перетин (нескінченного числа) множин:
Розподіл Кантора — унікальний розподіл ймовірностей, для якого для будь-якого Ct (t ∈ { 0, 1, 2, 3, … }), ймовірність того, що певний інтервал у Ct, що містить розподілену Кантором випадкову величину, дорівнює 2-t на кожному з 2t інтервалів.
Моменти
За симетрією легко переконатися, що для випадкової величини X, що має такий розподіл, її очікуване значення E(X) = 1/2, і що всі непарні центральні моменти X є 0.
Закон повної дисперсії може бути використаний для знаходження дисперсії var(X) наступним чином. Для вищевказаного набору C1 нехай Y=0, якщо X ∈ [0,1/3], і 1, якщо X ∈ [2/3,1]. Тоді:
З цього ми отримуємо:
Вираз замкнутої форми для будь-якого парного центрального моменту можна знайти, попередньо отримавши парні кумулятори[1]
де В2n є 2n-им числом Бернуллі, а потім виразити моменти як функції кумулянтів.