Розклад Енгеля

Розклад Енгеля додатного дійсного числа $x$ — єдина неспадна послідовність додатних натуральних чисел $\{a_1,a_2,a_3,\dots \}$ таких, що

$x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_1{a}_2{a}_3}+\cdots .$

Наприклад, константа Ейлера $\mathrm{e}$ має такий розклад Енгеля

$1,1,2,3,4,5,6,7,8,\dots ,$

що відповідає нескінченному ряду

$\mathrm{e}\mathrm{=}\frac{1}{1}\mathrm{+}\frac{1}{1}\mathrm{+}\frac{1}{1\cdot 2}\mathrm{+}\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\mathrm{+}\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\mathrm{+}\mathrm{\cdots }\mathrm{.}$

Раціональні числа мають скінченний розклад Енгеля, а ірраціональні числа — нескінченний розклад Енгеля. Якщо $x$ — раціональне, його розклад Енгеля забезпечує подання $x$ у вигляді єгипетського дробу. Енгельські розклади названі на честь Шаблон:Не перекладено, який вивчав їх у 1913 році.

Розклад, аналогічний розкладу Енгеля, зі знакозмінними доданками називається розкладом Пірса.

Розклад Енгеля, неперервні дроби і Фібоначчі

Краайкамп і Ву помітили, що розклад Енгеля також може бути записаний як висхідний варіант ланцюгового(неперервного) дробу:

$x=\frac{1+\frac{1+\frac{1+\cdots }{a_3}}{a_2}}{a_1}.$

Вони стверджують, що висхідні неперервні дроби, подібні до цього, вивчав ще Фібоначчі в Книзі Абака (1202). Це твердження, мабуть, посилається на позначення складних дробів Фібоначчі, в яких послідовність чисельників і знаменників, що використовують одну спільну риску дробу, представляють висхідний неперервний дріб:

$\frac{abcd}{efgh}=\frac{d+\frac{c+\frac{b+\frac{a}{e}}{f}}{g}}{h}.$

Якщо в цьому позначенні всі чисельники рівні 0 або 1, як з'являється в деяких місцях у Книзі Абака, то результатом буде розклад Енгеля. Однак, схоже, розклад Енгеля, як загальна техніка, не описаний Фібоначчі.

Алгоритм для обчислення розкладів Енгеля

Щоб знайти розклад Енгеля для числа $x$, задамо

$u_1=x,$

$a_k=\lceil \frac{1}{u_k}\rceil ,$

і

$u_{k+1}=u_k{a}_k-1,$

де $\lceil r\rceil$ — функція стелі (найменше ціле не менше $r$).

Якщо $u_i=0$ для деякого $i$, то зупиняємо алгоритм.

Ітераційні функції для обчислення розкладів Енгеля

Інший еквівалентний метод — розглянути функцію

$g(x)=x(1+\lfloor x^{-1}\rfloor )-1$

і покласти

$u_k=1+\lfloor \frac{1}{g^{(n-1)}(x)}\rfloor ,$

де

$g^{(n)}(x)=g(g^{(n-1)}(x))\text{і}{g}^{(0)}(x)=x.$

Ще один еквівалентний метод, який називається модифікованим розкладом Енгеля, — обчислення за допомогою функції

$h(x)=\lfloor \frac{1}{x}\rfloor g(x)=\lfloor \frac{1}{x}\rfloor (x\lfloor \frac{1}{x}\rfloor +x-1)$

і

$u_k=\{\begin{array}{cc}1+\lfloor \frac{1}{x}\rfloor ,& n=1,\\ \lfloor \frac{1}{h^{(k-2)}(x)}\rfloor (1+\lfloor \frac{1}{h^{(k-1)}(x)}\rfloor ),& n\ge 2.\end{array}$

Оператор переміщення функції Енгеля

Шаблон:Не перекладено Фробеніуса–Перрона функції Енгеля $g(x)$ діє на функцію $f(x)$ наступним чином:

$\left[{\iota }_{g}f\right](x)=\sum _{y:g(y)=x}\frac{f(y)}{{|\frac{\mathrm{d}}{{\mathrm{d}}_z}g(z)|}_{z=y}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f\left(\frac{x+1}{n+1}\right)}{n+1},$

оскільки

$\frac{\mathrm{d}}{{\mathrm{d}}_x}(x(n+1)-1)=n+1,$

а інверсією n-ї компоненти є $\frac{x+1}{n+1}$, що знайдений розв'язанням $x(n+1)-1=y$ відносно $x$.

Зв'язок з функцією Рімана $\zeta$

Перетворення Мелліна функції $g(x)$ пов'язане з $\zeta$ — функцією Рімана за допомогою формули

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)x^{s-1}\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{\frac{1}{n+1}}{\overset{\frac{1}{n}}{\int }}(x(n+1)-1)x^{s-1}dx=$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{-s}(s-1)+(n+1{)}^{-s-1}(n^2+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}=$

$=\frac{\zeta (s)}{s+1}-\frac{1}{s(s+1)}.$

Приклад

Для знаходження розкладу Енгеля для числа $1,175$ виконаємо наступні кроки:

$u_1=1,175,a_1=\lceil \frac{1}{1,175}\rceil =1;$

$u_2=u_1{a}_1-1=1,175\cdot 1-1=0,175,a_2=\lceil \frac{1}{0,175}\rceil =6;$

$u_3=u_2{a}_2-1=0,175\cdot 6-1=0,05,a_3=\lceil \frac{1}{0,05}\rceil =20;$

$u_4=u_3{a}_3-1=0,05\cdot 20-1=0.$

Отже,

$1,175=\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{1\cdot 6\cdot 20},$

а розклад Енгеля для числа $1,175$ має вигляд $\{1,6,20\}$.

Розклад Енгеля раціональних чисел

Кожне додатне раціональне число має унікальний скінченний розклад Енгеля. В алгоритмі розкладу Енгеля, якщо $u_i$ є раціональним числом $\frac{x}{y}$, то

$u_{i+1}=\frac{(-ymodx)}{y}.$

Тому на кожному кроці чисельник u_i у дробі, що залишається, зменшується, а тому процес побудови розкладу Енгеля повинен закінчуватися. Кожне раціональне число також має єдиний нескінченний розклад Енгеля: з використанням тотожності

$\frac{1}{n}=\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+1{)}^r}$

останнє число $n$ в скінченному розкладі Енгеля можна замінити нескінченною послідовністю чисел $(n+1)$ без зміни його значення. Наприклад,

$1,175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}.$

Це аналогічно тому, що будь-яке раціональне число зі скінченним десятковим представленням також має нескінченне десяткове представлення (див. $0,999\dots$). Нескінченний розклад Енгеля з рівними доданками буде геометричним рядом.

Ердеш, Реній і Шуш поставили задачу про нетривіальні оцінки довжини скінченного розкладу Енгеля для раціонального числа $\frac{x}{y}$, яка була розв'язана Ердошем і Шаблон:Не перекладено: було доведено, що кількість доданків у розкладі є $O\left(y^{1/3+\epsilon }\right)$ для будь-якого $\epsilon >0$.

Розклад Енгеля для деяких відомих констант

$\pi =\{1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,\dots \}$(послідовність A006784 в OEIS);

$\sqrt{2}=\{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144,\dots \}$(послідовність A006784 в OEIS);

$\mathrm{e}=\{1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\dots \}$(послідовність A006784 в OEIS).

І в загальному випадку,

${\mathrm{e}}^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}.$

Швидкість зростання елементів розкладу

Коефіцієнти $a_i$ розкладу Енгеля, як правило, демонструють експоненційне зростання; точніше, для майже всіх чисел на проміжку $(0,1]$ границя $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n^{1/n}$ існує і дорівнює $\mathrm{e}$. Однак, підмножина інтервалу для якого це не виконується є достатньо великою, щоб її розмірність Хаусдорфа дорівнювала одиниці.

Така сама типова швидкість зростання застосовується до членів в розкладі утвореному Шаблон:Не перекладено. Однак множина дійсних чисел в інтервалі $(0,1]$ для яких розклади Енгеля збігаються з їх жадібними розкладами має міру нуля, а розмірність Хаусдорфа — $1/2$.

Джерела

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Посилання

• Шаблон:Cite web