Репер Дарбу

Тригранник Френе на кривій у просторі — це найпростіший приклад Шаблон:Нп.

В диференціальній геометрії поверхонь, репер Дарбу — це природний Шаблон:Нп, побудований на поверхні. Є аналогом тригранника Френе у геометрії поверхонь. Репер Дарбу існує в будь-який не омбілічній точці на поверхні в евклідовому просторі. Названий на честь французького математика Жана Гастона Дарбу.

Репер Дарбу у точках вкладеної кривої

Нехай S — це орієнтована поверхня у тривимірному евклідовому просторі E³. Поняття репера Дарбу на поверхні S це по-перше рухомий репер, який пересувається вздовж кривої на поверхні S, а також уздовж напрямків головних кривин.

Геодезична кривина, нормальна кривина та геодезичний скрут

Нехай

γ : I \to D^{2}

внутрішнє рівняння кривої на регулярній поверхні S, параметризованій вектор-функцією

\vec{r} : D^{2} \to E^{3}

Тоді її зовнішнє рівняння, як кривої у E³ запишемо як композицію

\vec{γ} (t) = (\vec{r} \circ γ) (t)

,

t \in I

Використовуючи правило диференціювання композицій відображення, знайдемо

{\vec{γ}}^{'} = \partial \vec{r} \cdot γ^{'}

Оберемо на кривій натуральну параметризацію: $∣ {\vec{γ}}^{'} ∣ = \sqrt{g (γ^{'}, γ^{'})} \equiv 1$

Тоді ${\vec{γ}}^{'}$ являє собою одиничне дотичне векторне поле вздовж $\vec{γ}$ .

Якщо обмежити векторне поле нормалей поверхні на нашу криву, отримаємо векторне поле $\vec{n} (s) = (\vec{n} \circ γ)$

Векторне поле ${\vec{ν}}_{g} (s) = \vec{n} (s) \times {\vec{γ}}^{'} (s)$ називають полем геодезичних нормалей кривої.

Трійку одиничних, взаємно ортогональних векторів $\vec{τ} = {\vec{γ}}^{'} (s), {\vec{ν}}_{g} (s), \vec{n} (s)$ у точках кривої на поверхні називають репером Дарбу цієї кривої.

Розкладемо похідні по натуральному параметру векторних полів репера Дарбу по векторах цього ж репера. В силу одиничності розглянутих полів, отримаємо:

${\vec{τ}}^{'} = e_{1}^{2} {\vec{ν}}_{g} + e_{1}^{3} \vec{n}$

${\vec{ν}}_{g}^{'} = e_{2}^{1} \vec{τ} + e_{2}^{3} \vec{n}$

${\vec{n}}^{'} = e_{3}^{1} \vec{τ} + e_{3}^{2} {\vec{ν}}_{g}$

Оскільки вектори репера Дарбу попарно ортогональні, то легко бачимо, що матриця коефіцієнтів такого розкладу кососиметрична, тобто $e_{2}^{1} = - e_{1}^{2}, e_{3}^{1} = - e_{1}^{3}, e_{3}^{2} = - e_{2}^{3}$ . А тому $e_{1}^{2}, e_{1}^{3}, e_{2}^{3}$ цілком визначають цей розклад.

Коефіцієнт $e_{1}^{3}$ називають геодезичною кривиною і позначаємо $k_{g}$ ;

Коефіцієнт $e_{2}^{3}$ називають нормальною кривиною і позначаємо $k_{n}$ ;

Коефіцієнт $e_{1}^{3}$ називають геодезичним скрутом і позначаємо $ϰ_{g}$ ;

Див. також

Форма Маурера — Картана

Джерела

Репер Дарбу

Зміст