Головна кривина

Сідлова поверхня з нормальними площинами, що містять головні напрямки точки, до якої проведена нормаль

У диференціальній геометрії головні кривини поверхні в точці — це екстремальні значення нормальних кривин у цій точці. Вони вимірюють, наскільки сильно поверхня вигинається в різних напрямках у даній точці.

Означення

Нехай Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar — матриці першої та другої квадратичних форм поверхні в точці Шаблон:Mvar відповідно, тобто Шаблон:Center

Головними кривинами поверхні в точці Шаблон:Mvar називаються розв'язки Шаблон:Math рівняння $\det (B-\lambda D)=0.$

Дотичний вектор $a\ne 0$ називається головним напрямком на поверхні в точці Шаблон:Mvar, якщо він задовольняє умові $Ba=\lambda Da,$ де $\lambda =k_1,k_2.$

Властивості

Якщо Шаблон:Math та Шаблон:Math співпадають, то будь-який напрямок у відповідній дотичній площині є головним. Інакше головних напрямків буде двоє, причому вони будуть ортогональними.

Нехай $\theta$ — кут між деяким дотичним вектором Шаблон:Mvar в точці Шаблон:Mvar та головним напрямком, який відповідає головній кривині Шаблон:Math в точці Шаблон:Mvar. Тоді для нормальної кривини в Шаблон:Mvar у напрямку Шаблон:Mvar справедлива формула Ейлера Шаблон:Center Наслідком з наведеної формули є те, що нормальна кривина поверхні в точці досягає найменшого та найбільшого значень в головних напрямках цієї точки.

Гауссова та середня кривини

Шаблон:Main Гауссовою кривиною поверхні в точці називається добуток головних кривин поверхні в цій точці: $K=k_1{k}_2.$

Середньою кривиною поверхні в точці називається половина суми головних кривин поверхні в цій точці: $H=\frac{1}{2}(k_1+k_2).$

Якщо ці величини відомі, то головні кривини будуть коренями рівняння Шаблон:Center

Класифікація точок поверхні

Точка поверхні називається еліптичною, якщо в ній $K>0.$ Якщо при цьому $k_1=k_2\ne 0,$ то точка називається омбілічною (або точкою округлення).

Точка поверхні називається гіперболічною, якщо в ній $K<0.$

Точка поверхні називається параболічною, якщо в ній $K=0,$ причому $k_1^2+k_2^2\ne 0.$ Якщо $k_1=k_2=0,$ то точка поверхні називається точкою сплощення.

Лінія кривини

Крива $\gamma$ на поверхні Шаблон:Mvar називається лінією кривини цієї поверхні, якщо головний напрямок на Шаблон:Mvar у кожній точці Шаблон:Mvar кривої $\gamma$ є дотичним вектором до $\gamma$ в точці Шаблон:Mvar.

Знаходити лінії кривини поверхні Шаблон:Mvar можна за допомогою наступного диференціального рівняння: Шаблон:Center де Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar — коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar — коефіцієнти другої квадратичної форми поверхні Шаблон:Mvar.

Див. також

• Теорема Меньє

Література

• Шаблон:Борисенко.Диференціальна геометрія і топологія
• Шаблон:Cite book