Регулярний простір

Шаблон:Аксіоми відокремлюваності Регулярний простір і простір $T_3$ — топологічні простори, що характеризуються виконанням досить сильних аксіом віддільності.

Означення

Топологічний простір простір $X$ називається регулярним простором, якщо він задовольняє умову віддільності точок від замкнутих множин, тобто для кожної замкнутої множини $F\subseteq X$ і точки $x\in X\setminus F$ існують відкриті множини $U,V\subseteq X,$ що не перетинаються і $x\in U$ і $F\subseteq V:$

Точка x і замкнута множина F відокремлюються за допомогою околів U і V, що зображені великими кругами, які не перетинаються.

Також у цьому випадку кажуть, що точка $x$ і замкнута множина $F$ розрізняються за допомогою відкритих множин $U,V$.

Топологічний простір $X$ називається гаусдорфовим регулярним простором або простором $T_3$ тоді і тільки тоді, коли $X$ є регулярним простором і також гаусдорфовим простором.

Еквівалентно регулярний простір є простором $T_3,$ якщо він є задовольняє аксіому $T_0.$ Дійсно кожен простір Гаусдорфа є простором $T_0.$ Навпаки регулярний простір $T_0$ є гаусдорфовим. Це випливає з того, що для таких просторів із двох різних точок, хоча б одна не залежить замиканню іншої (наслідок аксіоми $T_0$ ) і з регулярності випливає, що існують відкриті множини, що не перетинаються і відокремлюють вказані точку і замикання іншої. Ці ж множини задовольняють умову в означення просторів Гаусдорфа.

В літературі немає однозначності щодо використання термінів. Іноді регулярним простором можуть називати простір, що також є гаусдорфовим, також простором $T_3$ можуть називати як регулярний (не обов'язково гаусдорфів), так і гаусдорфів регулярний простір.

Топологічний простір у якому кожна точка має відкритий окіл, що є регулярним простором називається локально регулярним простором.

Приклади

• Більшість типових прикладів у математичному аналізі є просторами $T_3.$ Серед таких прикладів зокрема: простір дійсних чисел із стандартною топологією, евклідові простори, метричні і метризовні простори. Псевдометричні простори є регулярними але можуть не бути гаусдорфовими.
• Довільна множина із антидискретною топологією є гаусдорфовим регулярним простором.
• Компактні і локально компактні гаусдорфові простори є регулярними.
• Кожен цілком регулярний простір є регулярним але існують регулярні простори, які не є цілком регулярними. Наприклад розглянемо підмножину $M=:\{(x,y)\in {ℝ}^2:y⩾0\}\cup \{(0,-1)\}$ двовимірної площини. На множині $M$ введемо топологію $\tau$ за допомогою бази околів $ℬ(x,y)$ для точок $(x,y)\in M:$
  • якщо $y>0,$ то $ℬ(x,y)=\{\{(x,y)\}\},$
  • якщо $y=0,$ то $ℬ(x,y)$ складається із всіх множин виду $\{(x,v)\in {ℝ}^2:0⩽v⩽2\}\cup \{(x+v,v)\in {ℝ}^2:0⩽v⩽2\}\setminus B,$ де $B$ є скінченною множиною,
  • $ℬ(0,-1)=\{U_i:i=1,2,3,\dots \},$ де $U_i=\{(0,-1)\}\cup \{(u,v)\in {ℝ}^2:i⩽u\}.$

Тоді $(M,\tau )$ є регулярним але не цілком регулярним простором.

• Існують простори $T_2$ які не є просторами $T_3.$ Розглянемо наприклад множину $X=[0,1]$ з топологією $\tau$ отриманою доповненням звичайної топології на $[0,1]$ множиною $[0,1]\setminus \{\frac{1}{n}:n=2,3,4\dots \}.$ Тоді $(X,\tau )$ є гаусдорфовим простором оскільки $X=[0,1]$ із звичайною топологією є гаусдорфовим, а топологічний простір із сильнішою топологією є гаусдорфовим, якщо таким є простір із слабшою топологією. Натомість $(X,\tau )$ не є регулярним простором. Справді, $\{\frac{1}{n}:n=2,3,4\dots \}$ є замкнутою множииною (оскільки за побудовою, її доповнення є відкритою множиною) і її не можна відділити від точки $\{0\}$ за допомогою відкритих множин, що не перетинаються.
• Іншим прикладом гаусдорфового простору, що не є простором $T_3$ є простір із топологією ірраціонального схилу. Цей простір також є прикладом напіврегулярного простору, що не є регулярним.
• Натомість простір $X=\{0,1,2,3\}$ із топологією $\tau =\{\varnothing ,\{0,1\},\{2,3\},X\}$ є регулярним але не гаусдорфовим.

Властивості

• Топологічний простір $X$ є регулярним тоді і тільки тоді, коли виконується якась із еквівалентних умов:

1. Для кожної компактної множини $A$ і замкнутої множини $B$ перетин яких є порожньою множиною існують відкриті множини $O_A,O_B,$ що не перетинаються між собою і для яких $A\subset O_A$ і $B\subset O_B.$
2. для кожної точки $x\in X$ і його відкритого околу $V$ (тобто $x\in V\subseteq X$) існує окіл $U$ точки $x$ замикання якого є підмножиною $V$ (тобто $x\in U\subseteq \mathrm{c}\mathrm{l}(U)\subseteq V$).
3. Кожна замкнута множина $V$ є рівною перетину усіх своїх замкнутих околів (окіл має містити відкриту множину, що містить $V$, тому $V$ не є своїм околом).
4. Для кожної множини $A$ і відкритої множини $B$ перетин яких є непорожнім існує відкрита множина $O$ для якої $A\cap O\ne \mathrm{\varnothing }$ і $\overline{O}\subset B.$
5. Для кожної непорожньої множини $A$ і замкнутої множини $B$ перетин яких є порожньою множиною існують відкриті множини $O_A,O_B$ для яких $A\cap O_A\ne \mathrm{\varnothing }$ і $B\subset O_B.$
6. Кожна база топології є регулярною, тобто для кожної множини $B$ із бази і точки $x\in B$ існує відкрита множина $O_x$ для якої $x\in O_x\subset {\overline{O}}_x\subset B.$

• Кожен регулярний топологічний простір $X$ який є зліченним або задовольняє другу аксіому зліченності є нормальним простором.
• Підмножина регулярного простору (чи простору $T_3$) із індукованою топологією є регулярним простором (простором $T_3$).
• Прямий добуток регулярних просторів (чи просторів $T_3$) із топологією добутку є регулярним простором (простором $T_3$).

Див. також

• Аксіоми віддільності
• Гаусдорфів простір
• Цілком регулярний простір

Джерела

• Шаблон:Бурбакі.Загальна топологія.г1-2
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 Шаблон:Ref-en