Радикальна ознака Коші

Шаблон:Числення Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряду: Шаблон:Рамка Якщо для числового ряду

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

з невід'ємними членами існує таке число $d$, $0<d<1$, що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність $\sqrt[n]{a_n}<d$ то даний ряд збіжний. Шаблон:/рамка Дана ознака була вперше розглянута французьким математиком Огюстеном-Луї Коші, який опублікував доведення у своєму підручнику Cours d'analyse (1821).

В англомовній літературі дану ознаку частіше називають просто "Root test"[1], опускаючі ім'я автора.

Гранична форма

Умова радикальної ознаки рівносильна наступному :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}<1$

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатного ряду в граничній формі: Шаблон:Рамка Якщо для ряду

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(a_n\ge 0)\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=l$, то

якщо $l<1$ ряд збігається,

якщо $l>1$ ряд розбігається.

Доведення

1. Нехай $l<1$. Очевидно, що існує таке $\epsilon >0$, що $l+\epsilon <1$. Оскільки існує границя $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=l$, то підставивши в означення границі вибране $\epsilon$ одержимо:

$|\sqrt[n]{a_n}-l|<\epsilon$

Розкривши модуль, одержимо:

$-\epsilon <\sqrt[n]{a_n}-l<\epsilon$

$l-\epsilon <\sqrt[n]{a_n}<l+\epsilon$

$(l-\epsilon {)}^n<a_n<(l+\epsilon {)}^n$

Оскільки $l+\epsilon <1$, то ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(l+\epsilon {)}^n$ збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ теж збігається.

2. Нехай $l>1$. Очевидно, що існує таке $\epsilon >0$, що $l-\epsilon >1$. Оскільки існує границя $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=l$, то підставивши в означення границі вибране $\epsilon$ одержимо:

$|\sqrt[n]{a_n}-l|<\epsilon$

Розкривши модуль, одержимо:

$-\epsilon <\sqrt[n]{a_n}-l<\epsilon$

$l-\epsilon <\sqrt[n]{a_n}<l+\epsilon$

$(l-\epsilon {)}^n<a_n<(l+\epsilon {)}^n$

Оскільки $l-\epsilon >1$, то ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(l-\epsilon {)}^n$ розбіжний. Тоді за ознакою порівняння ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ теж розбіжний.

Приклади

1. Ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{2^n}$

збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}$

2. Розглянемо ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(\frac{n-1}{n+1})}^{n-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{2}{n+1})}^{n-1}=e^{-2}<1\Rightarrow$ряд збіжний

Див. також

• Ознака д'Аламбера

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр