Підстановка Абеля

Підстановка Абеля була запропонована Н.Г. Абелем для обчислення значень інтегралів типу:

$\int \frac{dx}{(a{x}^2+bx+c{)}^{\frac{2m+1}{2}}}=\int \frac{dx}{Y^{\frac{2m+1}{2}}}={\left(\frac{4}{4ac-b^2}\right)}^m\int (a-t^2{)}^{m-1}dt,$

де $m$ є цілим додатнім числом, $Y=a{x}^2+bx+c$, а змінна $t$ задається виразом (1) (див Розв'язок).

Розв'язок

Підстановка Абеля пов'язана з похідною від виразу $Y$ так

$t=(\sqrt{Y}{)}^{\prime }=\frac{Y^{\prime }}{2\sqrt{Y}}=\frac{ax+\frac{b}{2}}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}},$          (1)

де враховано, що похідна $Y^{\prime }=2ax+b$.

Коли піднести поданий вираз до квадрата та помножити на $4Y$ матимемо, що

$4t^{2}Y=(Y^{\prime }{)}^2=\frac{Y^{\prime }}{2\sqrt{Y}}=4a^2{x}^2+4abx+b^2.$

Далі, віднявши цей вираз від добутку $4aY=4a^2{x}^2+4abx+4ac$ отримаємо в результаті

$4aY-4t^{2}Y=4Y(a-t^2)=4a^2{x}^2+4abx+4ac-(4a^2{x}^2+4abx+b^2)=4ac-b^2.$

Звідки $Y$ визначається як

$Y=\frac{4ac-b^2}{4}\frac{1}{a-t^2}$

й відповідно

$Y^m={\left(\frac{4ac-b^2}{4}\right)}^m\frac{1}{(a-t^2{)}^m}.$          (2)

З виразу (1) також можна отримати наступну рівність

$t\sqrt{Y}=ax+\frac{b}{2},$

продиференціювавши яку, з врахуванням що $d(\sqrt{Y})=tdx$ (див. вираз (1)), знаходимо

$(t\sqrt{Y}{)}^{\prime }=dt\sqrt{Y}+td(\sqrt{Y})=dt\sqrt{Y}+t^{2}dx=adx.$

Відповідно, після рознесення виразів з $t$ та з $x$ по різні боки цього рівняння, матимемо

$\frac{dx}{\sqrt{Y}}=\frac{dt}{(a-t^2)}.$          (3)

Далі, поділивши попарно ліву та праву частини виразу (3) відповідно на ліву та праву частини виразу (2) знаходимо що

$\frac{dx}{\sqrt{Y}}\frac{1}{Y^m}=\frac{dx}{Y^{\frac{2m+1}{2}}}=\frac{dt}{(a-t^2)}{\left(\frac{4}{4ac-b^2}\right)}^m(a-t^2{)}^m={\left(\frac{4}{4ac-b^2}\right)}^m(a-t^2{)}^{m-1}dt.$

Тому використовуючи підстановку Абеля початковий інтеграл можна записати у вигляді:

$\int \frac{dx}{Y^{\frac{2m+1}{2}}}=\int {\left(\frac{4}{4ac-b^2}\right)}^m(a-t^2{)}^{m-1}dt={\left(\frac{4}{4ac-b^2}\right)}^m\int (a-t^2{)}^{m-1}dt$

де можна легко провести інтегрування по змінній $t$ для цілих додатних значень $m$ й після інтегрування просто підставити в кінцевий результат значення змінної $t$ (див. вираз (1)).

Приклади

Для випадку $m=1$ матимемо:

$\int \frac{dx}{(a{x}^2+bx+c{)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{4}{4ac-b^2}\int dt=\frac{4t}{4ac-b^2}=\left(\frac{4}{4ac-b^2}\right)\frac{ax+\frac{b}{2}}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}.$

Для випадку $m=2$ матимемо:

$\int \frac{dx}{(a{x}^2+bx+c{)}^{\frac{5}{2}}}={\left(\frac{4}{4ac-b^2}\right)}^2\int (a-t^2)dt={\left(\frac{4}{4ac-b^2}\right)}^2(at-\frac{t^3}{3}),$

куди потім можна підставити явне значення для $t$ (див. вираз (1)) й спростити результат.

Для випадку $m=3$ матимемо:

$\int \frac{dx}{(a{x}^2+bx+c{)}^{\frac{7}{2}}}={\left(\frac{4}{4ac-b^2}\right)}^3\int (a-t^2{)}^{2}dt={\left(\frac{4}{4ac-b^2}\right)}^3(a^{2}t-\frac{2a}{3}{t}^3+\frac{t^5}{5})$

й так далі.

Див. також

• Таблиця інтегралів
• Таблиця інтегралів ірраціональних функцій
• Нільс Генрік Абель
• Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля

Джерела

Г.М. Фіхтенгольц «Курс диференціального та інтегрального обчислення», Т II, Москва 1966.