Принцип найменшої дії

Шаблон:Фізична теорія При́нцип найме́ншої ді́ї, у фізиці — стверджує, що з усіх можливих шляхів системи у конфігураційному просторі реалізується той, який відповідає мінімальному значенню дії.

Принцип найменшої дії є універсальним фізичним законом і використовується для виведення рівнянь руху.

Формулювання Гамільтона

У формулюванні Гамільтона, також відомому під назвою принцип Гамільтона — Остроградського, дія дорівнює

$S=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒ(q_i,{\dot{q}}_i,t)dt$,

де $ℒ$ — функція Лагранжа. Розглядаються всі можливі траєкторії, які починаються в певній точці конфігураційного простору й закінчуються в момент часу $t_2$.

Формулювання Мопертюї

У випадку, коли функція Гамільтона явно не залежить від часу при виконанні закону збереження енергії, для знаходження енергії $ℰ$ використовують функцію Лагранжа:

$ℒ=𝐩\cdot \dot{𝐪}-ℰ$,

де $𝐪$ є узагальнені координати a $𝐩$ є узагальнені імпульси.

Через функцію Лагранжа можна записати функціонал дії у вигляді:

$𝒮=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒ\mathrm{d}t=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}𝐩\cdot \dot{𝐪}\mathrm{d}t-ℰ(t_2-t_1)={𝐒}_0-ℰ(t_2-t_1)$

де ${𝐒}_0$ означає редуковану (скорочену) дію.

Варіація функціоналу дії $𝒮$ дає:

$\delta 𝒮=\delta {𝒮}_0-ℰ(\delta t_2-\delta t_1)$

Оскільки варіація дії при постійній енергії приводить до:

$\delta 𝒮=-ℰ(\delta t_2-\delta t_1)$

тому варіація редукованої дії буде:

$\delta {𝒮}_0=\delta \underset{k}{\int }𝐩\cdot \mathrm{d}𝐪=0$,

де $k$ є крива в фазовому просторі, що сполучає початкову та кінцеву точки руху системи. Оскільки узагальнена координата в загальному випадку є функція залежна від конкретного шляху $s$, тобто $𝐪=𝐪(s)$, тому узагальнений імпульс можна переписати як:

$𝐩=𝐩(\frac{\mathrm{d}𝐪}{\mathrm{d}t},𝐪)=𝐩(\frac{\mathrm{d}𝐪}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t},𝐪)$

Тоді функція Гамільтона може бути подана у вигляді:

$H(𝐪,\dot{𝐪})=H(𝐪,\frac{\mathrm{d}𝐪}{𝐝s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t})=ℰ$

Оскільки швидкість переміщення по шляху $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ є повна похідна, тому можливе розділення диференціалів і варіаційний принцип може бути записаний у вигляді:

$\delta \int ℱ(𝐪,\frac{\mathrm{d}𝐪}{\mathrm{d}s},ℰ)\mathrm{d}s=0$

Таким чином, траєкторія руху системи $𝐪(s)$ залежить від повної енергії $ℰ$. Враховуючи загальний вираз для функції Лагранжа $ℒ=a_{ij}\left(q^k\right){\dot{q}}^i{\dot{q}}^j-V(q^k)$, тоді підінтегральна функція приймає вигляд:

$ℱ=\sqrt{2(ℰ-V)a_{ik}\frac{\mathrm{d}{q}^i}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}{q}^k}{\mathrm{d}s}}$

де $V$ i $a_{ik}$ залежні від $q^j$.

Доцільно привести більш наглядний математичний вираз для Принципу Моперт'юї у випадку однієї матеріальної частки:

${𝒮}_0\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\int 𝐩\cdot d𝐪=\int ds\sqrt{2}\sqrt{E_{tot}-V(𝐪)}$

оскільки кінетична енергія $T=E_{tot}-V(𝐪)$ рівна постійній повній енергії $E_{tot}$ мінус потенціальній енергії $V(𝐪)$.

Дія дорівнює

$W=\underset{q_1}{\overset{q_2}{\int }}\sum _j{p}_{j}d{q}_j$.

Розглядаються траєкторії, що починаються в певній точці координаційного простору $q_1$ і закінчуються в іншій наперед вибраній точці координаційного простору $q_2$ незалежно від часу, якого вимагає подолання шляху між двома точками.

Варіація

Для того, щоб знайти траєкторію системи у конфігураційному просторі, необхідно перебрати усі можливі траєкторії руху й вибрати той, для якого дія буде найменшою.

Робиться це таким чином.

Спочатку розглядається довільна траєкторія $q_i(t)$. Потім додається довільне мале відхилення (варіація) від цієї траєкторії $\delta q_i(t)$, таке, щоб $\delta q_i(t_1)=\delta q_i(t_2)=0$. Обчислюється дія для обох траєкторій і знаходиться різниця між отриманими значеннями.

$\delta S=\underset{t1}{\overset{t2}{\int }}ℒ(q_i+\delta q_i,{\dot{q}}_i+\delta {\dot{q}}_i,t)dt-\underset{t1}{\overset{t2}{\int }}ℒ(q_i,{\dot{q}}_i,t)dt$.

Траєкторія буде реалізуватися тоді, коли ця різниця буде додатною.

Враховуючи те, що відхилення мале, функцію Лагранжа можна розкласти в ряд Тейлора, відкидаючи усі квадратичні й вищі члени.

Таким чином отримують диференційне рівняння Лагранжа (або Ейлера-Лагранжа)

$\frac{d}{dt}\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$,

справедливе тоді, коли всі сили в механічній системі потенціальні.

Ця процедура називається варіаційною процедурою. Вона є стандартним методом виведення диференційних рівнянь з інтегральних законів.

Див. також

• Принцип Ферма
• Варіаційне числення
• Рекомбінація

Джерела

• Принцип Гамільтона-Остроградського в електромеханічних системах: [монографія] / А. Чабан; Політехніка Ченстоховська, Нац. ун-т «Львів. політехніка», Львів. нац. аграр. ун-т. — Львів: Вид-во Т. Сороки, 2015. — 463 c. — Бібліогр.: с. 450—455.
• Шаблон:Ландау.Ліфшиць.Теор.Фізика.10т.укр
• W. R. Hamilton, «On a General Method in Dynamics.», Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308 Шаблон:Webarchive; Part II (1835) p. 95—144 Шаблон:Webarchive. (From the collection Sir William Rowan Hamilton (1805—1865): Mathematical Papers Шаблон:Webarchive edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland. (2000); also reviewed as On a General Method in Dynamics Шаблон:Webarchive)