Похідна Фреше

Похідна́ Фреше́ — узагальнення поняття похідної на випадок нормованих просторів. Названа на честь французького математика Моріса Фреше.

Визначення

Нехай X та Y — лінійні нормовані простори, а G — відкрита множина простору X. Відображення (функція, оператор) $f:G\to Y$ називається диференційовним за Фреше в точці $x\in G$, якщо існує лінійний неперервний оператор $L_x:X\to Y$, такий що для довільного $h\in X$, що задовольняє умові $x+h\in G$

$\mathrm{\Delta }f=f(x+h)-f(x)=L_{x}h+\omega (x,h)$,

де $\frac{\omega (x,h)}{\parallel h\parallel }\to 0$ при $h\to 0$ в розумінні збіжності по нормі в просторі Y.

Головна частина $L_{x}h$, що лінійно залежить від h та приросту $\mathrm{\Delta }f$ називається диференціалом Фреше відображення f в точці х і позначається $df(x,h)$, а вираз $\omega (x,h)$ називається залишком приросту.

Лінійний оператор $L_x$ називається похідною Фреше відображення f в точці х і позначається $f^{\text{'}}(x)$.

Властивості

Нехай $f,g:G\to Y$ — відображення нормованих просторів і $\in G$. Похідна Фреше задовольняє такі властивості:

• $(f+g{)}^{\prime }(\phi )=A^{\prime }(\phi )+B^{\prime }(\phi )$
• $(\lambda f{)}^{\prime }(\phi )=\lambda f^{\prime }(\phi )$, де λ — деякий скаляр з поля над яким визначені нормовані простори.
• $(f\circ g{)}^{\prime }(\phi )=(f^{\prime }\circ g)(\phi )g^{\prime }(\phi )$.

Див. також

• Похідна Гато

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель
• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Фреше производная. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5. Советская энциклопедия, 1984.