Поліноми Лежандра

Поліноми Лежандра — ортогональні поліноми на інтервалі $[-1,1]$.

Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів $1,x,x^2,x^3,\dots$ за допомогою ортогоналізації Грама-Шмідта.

Можуть бути обчислені за допомогою прямих формул:

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}[(x^2-1{)}^n]$

або за рекурентними:

$P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}x{P}_n(x)-\frac{n}{n+1}{P}_{n-1}(x).$

Вони є розв'язками диференційного рівняння Лежандра:

$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d}{dx}{P}_n(x)]+n(n+1)P_n(x)=0.$

Графіки поліномів Лежандра порядку $n=0,1,...,5$

Генератриса для многочленів Лежандра дорівнює

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(z)x^n=\frac{1}{\sqrt{1-2xz+x^2}}.$

Перші 9 поліномів Лежандра:

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$P_2(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(3x^2-1)$

$P_3(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(5x^3-3x)$

$P_4(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(35x^4-30x^2+3)$

$P_5(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(63x^5-70x^3+15x)$

$P_6(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{16}\end{array}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$

$P_7(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{16}\end{array}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)$

$P_8(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{128}\end{array}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)$

$P_9(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{128}\end{array}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)$

Ортогональність

Умова ортогональності справджується на інтервалі $[-1,1]$:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}.$

де ${\delta }_{mn}$ — дельта-символ Кронекера.

Приєднані функції Лежандра

Приєднані функції Лежандра визначаються за формулою:

$P_n^m(x)=(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}{P}_n(x),$

яку можна також представити у вигляді:

$P_n^m(\cos \theta )={\sin }^m\theta \frac{d^m}{d(\cos \theta {)}^m}{P}_n(\cos \theta ).$

При $m=0$ функція $P_n^m$ збігається з $P_n$.

Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.

Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+(n[n+1]-\frac{m^2}{1-x^2})y=0,$

або еквівалентного йому:

$([1-x^2]y^{\prime }{)}^{\prime }+(n[n+1]-\frac{m^2}{1-x^2})y=0,$

Застосування

Поліноми Лежандра широко застосовуються у фізиці. Зазвичай аргументом поліномів є косинус полярного кута $\theta$, який змінюється від −1 при $\theta =\pi$ до 1 при $\theta =0$.

Зокрема для отримання мультипольного розкладу електростатичних полів:

$\frac{1}{|𝐫-{𝐫}_0|}=\frac{1}{\sqrt{r^2-2r{r}_0\cos \theta +r_0^2}}=\frac{1}{r_0}\frac{1}{\sqrt{1-2x\cos \theta +x^2}}=\frac{1}{r_0}\sum _n{P}_n(\cos \theta )x^n$,

де $x=r/r_0$, а $\cos \theta$ — кут між векторами $𝐫$ та ${𝐫}_0$.

Інше важливе застосування — розклад полів на парціальні хвилі. Наприклад, плоска хвиля розкладається за допомогою формули

$e^{i𝐤\cdot 𝐫}=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}(2l+1)i^l{j}_l(kr)P_l(\cos \theta )$

де $j_l(x)$ — сферичні функції Бесселя.

Див. також

• Сферичні гармоніки

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр