Польський простір

Польський простір — топологічний простір, гомеоморфний повному метричному простору із зліченною щільною підмножиною.

Приклади

Дійсна пряма і будь-яка її відкрита або замкнута підмножина
Довільний евклідів простір $ℝ^{n}$
Сепарабельні банахові простори
Довільний компактний метризовний простір є польським простором. Зокрема це стосується компактного гаусдорфового простору зі зліченною базою
Множина Кантора
Куб Гільберта $I^{ℕ},$ де $I$ позначає одиничний інтервал
Простір $ℕ^{ℕ}$ (простір послідовностей натуральних чисел із топологією добутку)
Простір ірраціональних чисел із індукованою топологією дійсної прямої є польським простором, оскільки ірраціональні числа є G_δ-підмножиною дійсних чисел. Натомість з теореми Бера про категорії випливає, що простір раціональних чисел не є польським простором
Простір Урисона

Властивості

Замкнуті відкриті підмножини польського простору є польськими просторами.

Оскільки польський простір є сепарабельним і на ньому можна ввести метрику, то і будь-який його підпростір із індукованою топологією є сепарабельним. Дійсно сепарабельний метричний простір задовольняє другу аксіому зліченності (множина куль у цій метриці із центрами у зліченній щільній підмножині і раціональними радіусами утворює зліченну базу топології). Тоді перетини елементів зліченної бази із підпростором утворює зліченну базу підпростору. Обравши точку в кожному елементі зліченної бази отримуємо зліченну щільну підмножину.

Залишається довести, що на відкритих і замкнутих підмножинах польського простору можна ввести повну метрику. Якщо розглянути деяку повну метрику на польському просторі, то її обмеження на замкнуту підмножину буде повною метрикою. Тому ця множина є польським простором.

Для відкритої підмножини U топологічного простору X позначимо

U^{c}

доповнення цієї множини і для точки

x \in U

також позначимо

d (x, U^{c}) = \inf {d (x, z) : z \in U^{c}} .

Можна ввести метрику на U:

d_{0} (x, y) = d (x, y) + | \frac{1}{d (x, U^{c})} - \frac{1}{d (y, U^{c})} |

Ця метрика породжує топологію на U індуковану від X. Дійсно згідно нерівності трикутника

| d (x, U^{c}) - d (y, U^{c}) | ⩽ d (x, y)

і тому функція

x \to d (x, U^{c})

є неперервною. Тому послідовність

{x_{n}}

збігається до x у метриці d тоді і тільки тоді, коли вона збігається до x у метриці

d_{0} .

Тому метрика

d_{0}

породжує індуковану топологію на U.

Для доведення повноти метрики, нехай

{x_{n}}

є фундаментальною послідовністю для

d_{0} .

Тоді вона також є фундаментальною для d і тому збігається до точки

x \in X .

Точка x належить U в іншому випадку було б

\lim_{n} d (x_{n}, U^{c}) = 0

і звідси

\underset{n, m}{lim sup} d_{0} (x_{n}, x_{m}) = \infty,

що суперечить фундаментальності

{x_{n}}

для

d_{0} .

Як наслідок

{x_{n}}

збігається до x у метриці

d_{0},

що завершує доведення повноти цієї метрики.

Диз'юнктне об'єднання скінченної чи зліченної кількості польських просторів є польським простором.

Нехай

X_{n}

позначають відповідні польські простори,

D_{n}

— їх щільні зліченні підмножини, а

d_{n}

— деякі повні метрики на просторах. Можна припустити, що для всіх цих метрик

d_{n} (x, y) ⩽ 1

(в іншому випадку можна розглянути повні метрики

\min (d_{n} (x, y), 1),

що породжують ті ж топології). Диз'юнктне об'єднання

D_{n}

є зліченною множиною, що є цільною у диз'юнктному об'єднанні польських просторів. Метрика

d

задана як

d (x, y) = d_{n} (x, y),

якщо

x, y

належать одному

X_{n}

і

d (x, y) = 1

в іншому випадку, є повною метрикою на диз'юнктному об'єднанні

X_{n}

, що завершує доведення

Будь-яка G-дельта-підмножина польського простору є польським простором.
Нехай $Y = \cap_{n} U_{n},$ де $U_{n}$ є відкритими підмножинами польського простору $X .$ Тоді всі $U_{n}$ і їх добуток $\prod_{n} U_{n}$ є польськими просторами. Перетин діагоналі $Δ \subset \prod_{n} X$ із підпростором $\prod_{n} U_{n}$ є замкнутою підмножиною у $\prod_{n} U_{n}$ , а тому польським простором. До того ж $Δ \cap \prod_{n} U_{n}$ є гомеоморфним $Y$ через відображення, що зіставляє елементу $y \in Y$ послідовність у $\prod_{n} U_{n}$ всі члени якої є рівними $y .$
Навпаки, якщо підмножина польського простору є польським простором, то вона є G-дельта-множиною.
Топологічний простір є польським простором тоді і тільки тоді коли він є гомеоморфним G-дельта-підмножині кубу Гільберта $I^{ℕ}$
Прямий добуток зліченної кількості польських просторів є польським простором.

Нехай

X_{n}

позначають відповідні польські простори, а

d_{n}

— деякі повні метрики на просторах для яких

d_{n} (x, y) ⩽ 1 .

Якщо

x, y \in \prod_{n} X_{n}

— точки добутку просторів із координатами

x_{1}, x_{2}, \dots

і

y_{1}, y_{2}, \dots

відповідно, то

d (x, y) = \sum_{n} \frac{1}{2^{n}} d_{n} (x, y)

є метрикою, що породжує топологію добутку і добуток просторів є повним метричним простором із цією метрикою.

Для доведення сепарабельності спершу слід зазначити, що як і вище всі

X_{n}

задовольняють другу аксіому зліченності і тому можна обрати зліченну бази топології

𝒰_{n}

для всіх

X_{n} .

Тоді множини виду

U_{1} \times \dots \times U_{N} \times X_{N + 1} \times X_{N + 2} \times \dots,

де N є натуральним числом і всі

U_{n} \in 𝒰_{n},

утворюють базу добутку. Тобто добуток топологій задовольняє другу аксіому зліченності і тому є сепарабельним простором.

Довільна скінченна борелівська міра на польському просторі є регулярною.
Між будь-якими двома незліченними польськими просторами існує борелівська бієкція, тобто бієкція, яка переводить борелівські множини в борелівські. Зокрема, кожен незліченний польський простір має потужність континууму.
Теорема Кантора — Бендіксона: будь-яка замкнута підмножина в польському просторі є диз'юнктним об'єднанням досконалої підмножини, зліченної і відкритої підмножин.

Література

Шаблон:Citation

Польський простір

Приклади

Властивості

Література

Навігаційне меню

Пошук