Перетворення Дзядика

Визначення

Нижче дотримуємося нумерації формул § 3 розділу IV в [1], стор. 129-147, чи [2], стор. 154-170.

Нехай

$(1)a_0(x)y^{(k)}+a_1(x)y^{(k-1)}+\dots +a_k(x)y=p(x),y^{(j)}(0)=y_j,j=0,...,k-1,$

— задача Коші (ЗК) для звичайного лінійного диференціального рівняння (ЗЛДР), коефіціенти якого

$p(x)\in C,a_j(x)\in C^{(k-j)},j=0,...,k$

тобто $p(x),a_j^{(k-j)}(x)$ — неперервні функції, $y_j$ — довільні дійсні числа.

Перетворення Дзядика ставить у відповідність до задачі Коші звичайного лінійного диференціального рівняння (ЗК ЗЛДР) лінійне інтегральне рівняння

$a_0(x)y(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{P}_l(x,t)y(t)dt+\tilde{p}(x).$

У [3] знайдено просту симетричну (distinct) форму для формул (24), (25) та (15) у [2, § IV.3]:

$\begin{array}{cccccc}(24^{\prime })& & P(x,t)& =& & -\sum _{\mu =1}^k\frac{(t-x{)}^{\mu }}{(\mu -1)!}\sum _{\nu =0}^{\mu }(-{)}^{\nu }(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-\nu }{\mu -\nu })a_{\nu }^{(\mu -\nu )}(t)\\ (25^{\prime })& & \tilde{p}(x)& =& {𝒥}_k(p)(x)& +\sum _{\mu =1}^k\frac{(-x{)}^{\mu }}{(\mu -1)!}\sum _{\nu =1}^{\mu }(-{)}^{\nu }(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-\nu }{\mu -\nu })\sum _{s=1}^{\nu }{a}_{s-1}^{(\mu -\nu )}(0)y_{\nu -s}\end{array}$

${𝒥}_k(p)(x)$ denoting the $k$-th integral of the function $p(x)$

$(16){𝒥}_k(p)(x)=\frac{1}{(\nu -1)!}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{(\nu -1)}p(t)dt.$

Theorem. ... is equivalent to the integral equation.

Приклад

Рівняння Бесселя

$x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-m^2)y=0$

Підстановкою

$y(x)=x^{m}u(x)$

отримуємо спрощене рівняння Бесселя

$x{u}^{″}+(1+2m)u^{\prime }+xu=0$

для якого за формулами (24) та (25) обчислюємо

$P(x,t)=1-2m-t(x-t);\tilde{p}(x)=2mx;a_0(x)=x$

звідки інтегральна форма спрощеного рівняння Бесселя має вигляд:

$u(x)=2m+x^{-1}\{\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-2m-t(x-t))u(t)dt\}$

Використання

Перетворення Дзядика ЗК ЗЛДР в інтегральне рівняння є першою частиною розробленого ним апроксимаційного методу розв'язування диференціальних рівнянь, або $a$-методу.

Від 1969 року В. К. Дзядик розробив та глибоко обґрунтував так званий апроксимаційний метод розв'язування диференціальних рівнянь. Цей метод дає змогу ефективно будувати за допомогою ЕОМ (а іноді й без них) многочлени, а також шматково-многочлені агрегати гарного наближення для функцій, які є розв'язкми таких задач: задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь, задачі Ґурси, різних задач для рівнянь із запізненням аргументу, крайових задач для звичайних рівнянь тощо.

Застосування цього методу до лінійних диференціальних рівнянь із многочленними коефіцієнтами вигляду $(5)a_0(z)y^{(k)}+a_1(z)y^{(k-1)}+\dots +a_k(z)y=P(z),y^{(j)}(0)=y_j,$

$j=0,...,k-1$, де $a_j(z)$ і $P(z)$ — многочлени, дало змогу створити та обґрунтувати прості алгоритми для ефективної побудови алгебричних многочленів $y_n(z)=y_n(z;h)$, які на $[-h,h]$ при $a_0(z)\ne 0$ в найважливіших випадках здійснюють таке наближення шуканого розв'язку $y(z)$ рівняння $(5)$, яке, з точністю до множника, який не перевищує $1+A{n}^{-1},A=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$, збігається з величиною $E_n(y)$ найкращого наближення функції $y(z)$ многочленами степеня $\le n$.

Корнейчук Н. П., Никольский С. М., Шевчук И. А. УМН 34:4 (1979), на стор. 233.

За допомогою а-методу було знайдено та виправлено помилки у таблицях (напр., у таблицях Корн та Корн).

Цей метод дає асимптотично ($1+A{n}^{-1}$) найкращу можливу точність наближення, тому працює навіть тоді, коли інші методи не працюють (тобто дають неприпустиму похибку або розбіжні).

Визнання

Дзядик В. К., Коновалов В. М., Шевчук І. О. у 1991 році за цикл праць «Наближення диференційовних функцій та апроксимаційні методи розв'язання диференціальних та інтегральних рівнянь» стали лауреатами премії НАН України імені М. М. Крилова.

Джерела

1. Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / Ин-т математики АН УССР. — К. : Наукова думка, 1988. — 304 с. Шаблон:Ref-ru
2. Dzyadyk V. K. Approximation Methods for Solutions of Differential and Integral Equations. — VSP, Utrecht-Tokyo, 1995. — 325 p.  — ISBN 90-6764-194-4. Шаблон:Ref-en
3. Dzyadyk Yu. V. Some approximation properties of the a- and AI- quadrature polynomials // Функціональні методи у теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі та статистиці. Тези доповідей // Київський Національний університет, Київ, 2001, с. 22–23

Посилання

• Корнейчук Н. П., Никольский С. М., Шевчук И. А. Владислав Кириллович Дзядык (к шестидесятилетию со дня рождения) // Успехи математических наук. — 1979. — 34. — № 4 (208). — C.231-237.
• Биленко В. И., Коновалов В. Н., Луковский И. А., Лучка А. Ю., Пухов Г. Е., Ронто Н. И. Аппроксимационные методы Дзядыка решения дифференциальных и интегральных уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 4. — С.454-465.

Література

• Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б. Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах. // Кібернетика і системний аналіз, 2018, Т. 54, № 4. - C. 135-141.
• Біленко В. І., Кирилаха Н. Г. Апроксимаційний метод аналізу інтегральних динамічних моделей з керованою пам'яттю Канторовича-Глушкова // Сучасна інформатика: проблеми, досягнення та перспективи розвитку / Тези доповідей Міжнародної наукової конференції, присвяченої 90-річчю від дня народження В. М. Глушкова. Україна, Київ, 12-13 вересня 2013 року // Київ: Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, 2013. / Стор. 130-132.