Передпорядок

діаграма Гассе передпорядку x R y визначеного як x/4 ≤ y4. Через наявність циклів, R не є антисиметричним, тому відношення не є частковим впорядком.

Передпорядок (відношення передпорядку) — бінарне відношення в теорії порядку, що є транзитивним та рефлексивним. Зазвичай позначається $⩽,$ тоді визначення передпорядку на множині $S$ приймає вигляд:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in S:(a⩽b\wedge b⩽c)\Rightarrow (a⩽c)$ (транзитивність)

$\mathrm{\forall }a\in S:a⩽a$ (рефлексивність)

Якщо замінити у визначенні рефлексивність на антирефлексивність, то отримаємо строгий передпорядок, який позначеється $<$. Визначення:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in S:(a<b\wedge b<c)\Rightarrow (a<c)$ (транзитивність)

$\mathrm{\forall }a\in S:\mathrm{\neg }(a<a)$ (антирефлексивність)

Пов'язані визначення

• Відношення еквівалентності — симетричний передпорядок.
• Частковий порядок — антисиметричний передпорядок.
• Повний передпорядок — передпорядок, що є повним.

Теорія категорій

В теорії категорій з поняттям передпорядку пов'язують зазвичай дві категорії: категорію передпорядків й категорії, які називають передпорядками.

Передпорядки

Категорія $𝒫$ називається передпорядком, якщо для будь-яких двох об'єктів $a,b\in Ob𝒫$ існує не більше одного морфізмe $f:a\to b.$ Якщо $𝒫$ — мала категорія, то на множині її об'єктів можна задати відношення передпорядка за наступним правилом:

$a⩽b⟺\mathrm{\exists }f:a\to b$

З аксіом категорії слідує, що таке відношення буде рефлексивним і транзитивним. Передпорядок — це абстрактна категорія, тобто його у загальному випадку не можна представити як категорію деяких множин із заданою структурою і відображеннями, що зберігають цю структуру.

• Передпорядок — це скелетна категорія.
• Якщо мала категорія $𝒞$ повна в малому, то вона є предпорядком, причому кожна менша множина його елементів має найбільшу нижню грань.
• Добуток набору (множини, класу і т. п.) об'єктів предпорядку — це найбільша нижня грань для цього набору. Кодобуток набору об'єктів — це його найменша верхня грань.
• Початковий об'єкт $0$ у передпорядку $𝒫$, якщо він існує, — це його найменший об'єкт, так що $\mathrm{\forall }a\in 𝒫:0⩽a.$ Аналогиічно, термінальний об'єкт передпорядку — це найбільший об'єкт у ньому.

Категорія передпорядків

Категорія передпорядків позначається зазвичай $𝐏𝐫𝐞𝐨𝐫𝐝.$ Об'єктами категорії передпорядків є передпорядки (в сенсі категорій), зокрема, множини, на яких задані відношення передпорядку. Морфізми в цій категорії — відображення множин, зберігають відношення предпорядку, тобто монотонні відображення. Розглянемо в $𝐏𝐫𝐞𝐨𝐫𝐝$ підкатегорію малих передпорядків ${𝐏𝐫𝐞𝐨𝐫𝐝}_S.$ Це конкретна категорія, наділена очевидним унівалентним забутливим функтором

$U:{𝐏𝐫𝐞𝐨𝐫𝐝}_S\to 𝐒𝐞𝐭,$

який зіставляє кожному малому передпорядку множину його об'єктів, а кожному морфізму — монотонне відображення відповідних множин. Цей функтор створює межі в $𝐏𝐫𝐞𝐨𝐫𝐝$. Таким чином, аналогічно $𝐒𝐞𝐭,$ початковим об'єктом в $𝐏𝐫𝐞𝐨𝐫𝐝$ є порожня множина, термінальним об'єктом — множина з одного елементу, добутком об'єктів — прямий добуток відповідних множин з покомпонентним порівнянням, тощо.

Джерела

• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств
• Шаблон:Хаусдорф.Теория множеств
• Р. Голдблатт Топоси. Категорний аналіз логіки, — Мир, 1983. — 487 с.
• С. Маклейн Категорії для працюючого математика, — ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.