Передавальна функція

Шаблон:Не плутати Передавальна функція (Шаблон:Lang-en) — функція, що описує залежність виходів деякої динамічної лінійної стаціонарної системи від її входів. Також відома як системна або мережева функція. Є математичним представленням моделі чорного ящика деякої системи.

Зазвичай це подання в умовах просторової або часової частоти на зв'язку між входом і виходом теорії лінійних стаціонарних систем з нульовими початковими умовами і нульовою рівновагою. Наприклад, у випадку оптичних пристроїв обробки зображень — це перетворення Фур'є функції розсіювання точки (функція просторової частоти), тобто розподілу інтенсивності, викликаної точковим об'єктом в полі зору. Однак, деякі джерела використовують поняття «передавальна функція» для зазначення різних характеристик входу-виходу в прямих фізичних вимірюваннях (наприклад, вихідної напруги в залежності від вхідної напруги мережі), а не його перетворення в S-площині.

Передавальна функція використовується в основному в теорії автоматичного управління, теорії зв'язку та цифровій обробці сигналів і являє собою диференційний оператор, що виражає зв'язок між вхідним та вихідним сигналами лінійної стаціонарної системи. Знаючи вхідний сигнал системи і передавальну функцію, можна визначити вихідний сигнал. В теорії автоматичного управління передавальна функція неперервної лінійної стаціонарної системи визначається через відношення перетворення Лапласа вихідного сигналу до перетворення Лапласа вхідного сигналу за нульових початкових умов, та представляється дробово-раціональною функцією. Так як передавальна функція системи повністю визначає її динамічні властивості, то первинне завдання синтезу системи автоматичного управління зводиться до визначення її передавальної функції.

Лінійні стаціонарні системи

Нехай $u(t)$ — вхідний сигнал лінійної стаціонарної системи, a $y(t)$ — її вихідний сигнал. Тоді передавальна функція $W(s)$ такої системи записується у вигляді:

$W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$

де $U(s)$ і $Y(s)$) — перетворення Лапласа для сигналів $u(t)$ і $y(t)$ відповідно:

$U(s)=ℒ\{u(t)\}\equiv \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}u(t)e^{-st}dt$

$Y(s)=ℒ\{y(t)\}\equiv \underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}y(t)e^{-st}dt$

 Дискретна передавальна функція 

Для дискретних і дискретно-безперервних систем вводиться поняття дискретної передавальної функції. Нехай $u(k)$ — вхідний дискретний сигнал такої системи, а $y(k)$ — її дискретний вихідний сигнал, $k=0,1,2,\dots$ . Тоді передавальна функція $W(z)$ такої системи записується у вигляді:

$W(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}$

де $U(z)$ і $Y(z)$  — z-перетворення для сигналів $u(k)$ і $y(k)$ відповідно:

$U(z)=𝒵\{u(k)\}\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}u(k)z^{-k}$

$Y(z)=𝒵\{y(k)\}\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}y(k)z^{-k}$

Зв'язок з іншими динамічними характеристиками

• АФЧХ системи можна отримати з передавальної функції за допомогою формальної заміни комплексної змінної $s$ на $j\omega$:

$W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega$

• Імпульсна перехідна функція є оригіналом (в сенсі перетворення Лапласа) для передавальної функції.

Властивості передавальної функції, полюси і нулі передавальної функції

1.Для стаціонарних систем (тобто систем незмінними параметрами компонентів) і з зосередженими параметрами передавальна функція — це дрібно-раціональна функція комплексної змінної $s$:

$W(s)=\frac{R(s)}{Q(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\dots +b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\dots +a_n}$

2. Знаменник і чисельник передавальної функції — це характеристичні поліноми диференціального рівняння руху лінійної системи. Полюсами передавальної функції називають корені характеристичного полінома знаменника, нулі — корені характеристичного полінома чисельника.

3. У фізично реалізованих системах порядок полінома чисельника передавальної функції $m$ не може перевищувати порядку полінома її знаменника $n$, тобто $m\le n$

4. Імпульсна перехідна функція являє собою оригінал (перетворення Лапласа) для передавальної функції.

5. При формальної заміні $s=j\omega$ в $W(s)$ виходить комплексна передавальна функція системи, що описує одночасно амплітудно-частотну (у вигляді модуля цієї функції) і фазо-частотну характеристики системи як аргумент її.

Матрична передавальна функція

Для MIMO-систем вводиться поняття матричної передавальної функції. Матрична передавальна функція від вектора входу системи $U(t)$ до вектора виходу $Y(t)$ — це матриця $W=\{w_{i,j}\}$, елемент $i$-й рядка $j$-го стовпчика є передавальний функцію системи від $i$-й координати вектора входу системи до $j$-й координати вектора виходу

Див. також

• ЛАФЧХ
• Частота відповіді
• АФЧХ
• Білінійне перетворення

• Чотириполюсник

Література

• «Енциклопедія кібернетики», відповідальний ред. В. Глушков, 2 тт., 1973, рос. вид. 1974;
• Іванов А. О. Теорія автоматичного керування: Підручник. — Дніпропетровськ: Національний гірничий університет. — 2003. — 250 с.