Ортогональна траєкторія

Ортогональні траєкторії — лінії, що перетинають задане сімейство кривих під прямим кутом. Якщо ${y_1}^{\prime }$ — кутовий коефіцієнт дотичної до ортогональної траєкторії, а ${y_2}^{\prime }$ — кутовий коефіцієнт дотичної до кривої даного сімейства, то ${y_1}^{\prime }$ і ${y_2}^{\prime }$ повинні в кожній точці відповідати умові ортогональності:

${y_1}^{\prime }=-\frac{1}{{y_2}^{\prime }}$

Нехай у нас є сімейство кривих $g(x,y)=C$, де $C$ — константа. Тоді ортогональні траєкторії можуть бути знайдені шляхом розв'язку системи диференціальних рівнянь:

$\mathrm{\nabla }f(x,y)\cdot \mathrm{\nabla }g(x,y)=0$

Використовуючи визначення градієнта, можна записати:

$\mathrm{\nabla }f(x,y)=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$

Таким чином:

$\mathrm{\nabla }f(x,y)\cdot \mathrm{\nabla }g(x,y)=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})\cdot (\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y})=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\partial g}{\partial y}=0$

Приклади

Ортогональні траєкторії сімейства прямих ліній, що проходять через початок координат

Нехай у нас є сімейство прямих ліній, що проходять через початок координат, заданих рівнянням $y=kx$. Диференціюючи дане рівняння по змінній $x$, отримуємо:

$y^{\prime }=k=const$

Виключимо параметр $k$ із системи:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{y}\mathrm{=}\mathrm{k}\mathrm{x}\\ {\mathrm{y}}^{\prime }\mathrm{=}\mathrm{k}\end{array}\mathrm{\Rightarrow }{\mathrm{y}}^{\prime }\mathrm{=}\frac{y}{x}$

Замінимо $y^{\prime }$ на $(-\frac{1}{y^{\prime }})$:

$-\frac{1}{y^{\prime }}=\frac{y}{x}\Rightarrow y^{\prime }=-\frac{x}{y}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

Ми отримали своєрідне диференціальне рівняння з перемінними. Інтегруючи, отримуємо:

$ydy=-xdx\Rightarrow \int ydy=-\int xdx\Rightarrow \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=C$

Дане рівняння є ніщо інше, як рівняння кола радіуса $\sqrt{2C}$. Дійсно:

$R^2=2C\Rightarrow x^2+y^2=R^2$

Література

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стор. 23, Приклад 8)

Посилання

• Ортогональні траєкторії Шаблон:WebarchiveШаблон:Ref-ru