Оператор сліду

Функція, визначена на прямокутнику (вгорі — червоний колір) та її слід (червоний внизу)

Оператор сліду — розширення поняття звуження функції на границю області для класичних функцій на випадок класів функцій із просторів Соболєва.

Якщо $\mathrm{\Omega }$ — область в евклідовому просторі ${ℝ}^n$ і функція $U\in C(\overline{\mathrm{\Omega }})$, то $U$ приймає значення на границі $\partial \mathrm{\Omega }$ , яке позначається $U{|}_{d\mathrm{\Omega }}$. Виникає питання: чи можна визначити коректно значення на границі $\partial \mathrm{\Omega }$ для довільної функції $U\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ (така функція не є неперервною та визначається з точністю до міри нуль, а міра Лебега множини $\partial \mathrm{\Omega }$ дорівнює нулю).

Теорема

Нехай $\mathrm{\Omega }$ — обмежена область і $\partial \mathrm{\Omega }$ є $C^1;p\in [1,\mathrm{\infty })$. Тоді існує такий лінійний оператор 

$T:W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\mapsto L^p(\partial \mathrm{\Omega })$, що:

    1)$T_U=U{|}_{d\mathrm{\Omega }}$, якщо $U\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\cap C(\overline{\mathrm{\Omega }})$;
    2)$\mathrm{\exists }C>0\mathrm{\forall }U\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega }):\Vert T_U{\Vert }_{L^p(\partial \mathrm{\Omega })}⩽C\Vert U{\Vert }_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}$.

Означення

Оператор $T$ визначений у теоремі, називається оператором сліду, а $T_U$ — слідом функції на границі $\partial \mathrm{\Omega }$.

Доведення

1. Припустимо спочатку, що $U\in C^1(\mathrm{\Omega })$ і границя області $\mathrm{\Omega }$ є плоскою в деякому околі точки $x^0$, тобто існує таке число $r>0$, що $B_r(x^0)\cap (\overline{\mathrm{\Omega }})=B_r(x^0)\cap \{x:x_n⩾0\}=:B_r^{+}$.

Позначимо $B_r^{-}:=B_r(x^0)\cap \{x:x_n⩽0\}.$

Виберемо функцію $\zeta \in C_0^{\mathrm{\infty }}(B_r(x^0))$ таку, що $\zeta ⩾0$ на $B_r(x^0)$ і $\zeta \equiv 1$ на $B_{r/2}(x^0)$. Позначимо $\mathrm{\Gamma }:=B_{r/2}(x^0)\cap \{x:x_n=0\}$ i $x^{\prime }=(x_1,...,x_{n-1})\in {ℝ}^{n-1}=\{x_n=0\}$. Застосовуючи нерівність Юнга, виводимо

     $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }|U{|}^{p}d{x}^{\prime }⩽\underset{\{x_n=0\}}{\int }\zeta |U{|}^{p}d{x}^{\prime }=-\underset{B_r^{+}}{\int }\partial x_n(\zeta |U{|}^p)dx=-\underset{B_r^{+}}{\int }(|U{|}^p\partial x_n\zeta +\zeta p|U{|}^{p-1}\mathrm{sgn}(U)\partial x_{n}U)dx⩽C\underset{B_r^{+}}{\int }(|U{|}^p+\sum _{i=1}^n|\partial x_{i}U{|}^p)dx⩽C\Vert U{\Vert }_{W^{1,p}(B_r^{+})}^p$   (*)

2. Якщо межа не є плоскою в околі $B_r(x^0)$ точки $x^0\in \partial \mathrm{\Omega }$, то розпрямляючи межу за допомогою вектор-відображення $F:B_r(x^0)\mapsto {ℝ}^n$ i застосувавши (*) виводимо нерівність

     $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }|U{|}^{p}d{\sigma }_x⩽C\Vert U{\Vert }_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}^p$

де $\mathrm{\Gamma }=\partial \mathrm{\Omega }\cap B_{r/2}(x^0)$.

3.Оскільки $\partial \mathrm{\Omega }$ — компакт, то існує скінченне число точок $x_i^0\in \partial \mathrm{\Omega },i=1,...N$ і відкритих множин ${\mathrm{\Gamma }}_i$ , які містять $x_i^0$ і

$\partial \mathrm{\Omega }\subset \bigcup _{i=1}^N{\mathrm{\Gamma }}_i$ та $\Vert U{\Vert }_{L^p({\mathrm{\Gamma }}_i)}^p⩽C_i\Vert U{\Vert }_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}^p$. Підсумовуючи останні нерівності за $i=1,...N$ отримаємо нерівність

     $\Vert U{\Vert }_{L^p(\partial \mathrm{\Omega })}⩽C_i\Vert U{\Vert }_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}$

Для довільної функції $U\in C^1(\mathrm{\Omega })$ визначимо оператор $T_U:=U{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}$. Очевидно, що він є лінійним і

     $\Vert T_U{\Vert }_{L^p(\partial \mathrm{\Omega })}⩽C\Vert U{\Vert }_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}$  (**)

4. Тепер розглянемо довільну функцію $U\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$. Існує послідовність $\{U_m{\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}\subset C^{\mathrm{\infty }}(\overline{\mathrm{\Omega }})$ така, що

$U_m⟶U$ в $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ при $m⟶+\mathrm{\infty }$

Для кожної функції $U_m$ визначена функція $T_{U_m}\in L^p(\partial \mathrm{\Omega })$ і має місце нерівність (**). Тоді

     $\Vert T_{U_m}-T_{U_k}{\Vert }_{L^p(\partial \mathrm{\Omega })}⩽C\Vert U_m-U_k{\Vert }_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}$.

Отже, $\{T_{U_m}{\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ — фундаментальна послідовність у $L^p(\partial \mathrm{\Omega })$. Границею цієї послідовності позначимо через $T_U$, тобто $T_U:=\underset{m\mapsto \mathrm{\infty }}{\lim }{T}_{U_m}$. Очевидно, що дана границя не залежить від вибору апроксимуючої послідовності. Перейшовши до границі в нерівності

$\Vert T_{U_m}{\Vert }_{L^p(\partial \mathrm{\Omega })}⩽C\Vert U_m{\Vert }_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}$ при $m⟶\mathrm{\infty }$, отримаємо

    $\Vert T_U{\Vert }_{L^p(\partial \mathrm{\Omega })}⩽C\Vert U{\Vert }_{W^{1,p}(\mathrm{\Omega })}$.   $◻$

Див. також

• Звуження функції
• Простір Соболєва

Література

 Мельник Т.А, Креневич А.П. Теорія просторів Соболєва та узагальнені розв’язки крайових задач: підручник – К.: ВПЦ "Київський Університет", 2017.