Оператор відставання

В аналізі часових рядів, оператор відставання (L, від Шаблон:Lang-en) або оператор зворотного зсуву (B, від Шаблон:Lang-en) діє на елемент часового ряду видає попередній елемент. Наприклад, для даного часового ряду

$X=\{X_1,X_2,\dots \}$

тоді

$L{X}_t=X_{t-1}$ для всіх $t>1$

чи так само: $B{X}_t=X_{t-1}$ для всіх $t>1$

або еквівалентно

$X_t=L{X}_{t+1}$ для всіх $t⩾1$

де L є оператор відставання. Іноді використовують символ B для зворотнього зсуву. Зверніть увагу, що оператор відставання можна піднести до довільного цілого степеня, наприклад

$L^{-1}{X}_t=X_{t+1}$

і

$L^k{X}_t=X_{t-k}.$

Відставальні поліноми

Можна також використовувати поліноми з оператором відставання, це звичне позначення для АРКС (авторегресія ковзного середнього) моделей. Наприклад,

${\epsilon }_t=X_t-\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}=(1-\sum _{i=1}^p{\phi }_i{L}^i)X_t$

визначає АР(р) модель.

Поліном операторів відставання називається поліномом відставання, тож, наприклад, АРКС модель можна коротко подати як

$\phi (L)X_t=\theta (L){\epsilon }_t$

де $\phi (L)$ і $\theta (L)$

$\phi (L)=1-\sum _{i=1}^p{\phi }_i{L}^i$

і

$\theta (L)=1+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{L}^i.$

Многочлени операторів відставання мають подібні  до чисел і поліномів змінних правила множення і ділення. Наприклад,

$X_t=\frac{\theta (L)}{\phi (L)}{\epsilon }_t,$

означає те ж саме, що

$\phi (L)X_t=\theta (L){\epsilon }_t.$

Як і у випадку многочленів від змінних, поліном оператора відставання можна розділити на інший, використовуючи поліноміальне ділення в стовпчик. Загалом, ділення одного такого многочлена на інший, коли обидва мають скінченний порядок (найвищий показник), дає  поліном нескінченного порядку.

Оператор анігіляції (анігілятор), що позначається $[{]}_{+}$, видаляє записи полінома з негативним показником (майбутні значення).

Зверніть увагу, що $\phi \left(1\right)$ позначає суму коефіцієнтів:

$\phi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^p{\phi }_i$

Оператор різниць

В аналізі часових рядів, оператор першої різниці:$\mathrm{\nabla }$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }{X}_t& =X_t-X_{t-1}\\ \mathrm{\nabla }{X}_t& =(1-L)X_t.\end{array}$

Аналогічно, оператор другої різниці працює наступним чином:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }{X}_t)& =\mathrm{\nabla }{X}_t-\mathrm{\nabla }{X}_{t-1}\\ {\mathrm{\nabla }}^2{X}_t& =(1-L)\mathrm{\nabla }{X}_t\\ {\mathrm{\nabla }}^2{X}_t& =(1-L)(1-L)X_t\\ {\mathrm{\nabla }}^2{X}_t& =(1-L{)}^2{X}_t.\end{array}$

Цей підхід узагальнено на i-го різницевого оператора ${\mathrm{\nabla }}^i{X}_t=(1-L{)}^i{X}_t.$

Умовне математичне очікування

Зазвичай в стохастичних процесах важливим є очікуване значення змінної, враховуючи попередній набір інформації. Нехай ${\mathrm{\Omega }}_t$ — вся інформація, загальновідома на момент часу t (xfcnj це позначають нижнім індексом оператора математичного очікування); тоді математичне очікування реалізації X, j кроків в майбутньому, можна еквівалентно замінити наступним:

$E[X_{t+j}|{\mathrm{\Omega }}_t]=E_t[X_{t+j}].$

З таким залежним від часу умовним маточікуванням, з'являється необхідність розрізняти оператор зворотного зсуву (B), що тільки коригує дату прогнозування змінної й оператора відставання (L), який однаково змінює дату прогнозування змінної та множину відомостей (інформацію):

$L^n{E}_t[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}],$

$B^n{E}_t[X_{t+j}]=E_t[X_{t+j-n}].$

Див. також

• Авторегресійна модель
• Модель авторегресії — ковзного середнього
• Шаблон:Нп
• Оператор зсуву
• Z-перетворення

Джерела

• Шаблон:Cite bookШаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en