Обмежена послідовність

Числова послідовність $\{a_n:n\ge 1\}$ називається обмеженою, якщо $\mathrm{\exists }C\in {𝐑}^{\mathbf{+}}\mathrm{\forall }n\ge 1:|a_n|\le C$, тобто множина її значень є обмеженою.

• Послідовність {$x_n$} називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке дійсне число M (число m), що кожен елемент $x_n$ послідовності {$x_n$} задовільняє нерівність $x_n$ ≤ M ($x_n$ ≥ m).При цьому число M (число m) називають верхньою (нижньою) межею послідовності.

• Послідовність {$x_n$} називається обмеженою з двох сторін або просто обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу, тобто існують такі числа m і M, що m ≤ $x_n$ ≤ M., або |$x_n$| ≤ A, де A = max{M, m}.

Якщо послідовність є збіжною, то вона буде обмеженою.Шаблон:Sfn

Властивості

Добуток обмеженої і нескінченно малої послідовностей дає нескінченно малу послідовність.Шаблон:Sfn

Монотонно зростаюча обмежена зверху (або монотонно спадаюча обмежена знизу) послідовність має скінченну границю.Шаблон:Sfn

Див. також

• Верхня та нижня межа
• Обмежена множина
• Обмежена функція

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1