Нормалізатор

В абстрактній алгебрі нормалізатором підмножини $U$ групи $G$ називається множина елементів $G$ , які комутують загалом із підмножиною $U$ , але не обов'язково з кожним її елементом, як у випадку централізатора. Дане означення також може бути застосоване для інших алгебричних структур, зокрема моноїдів, напівгруп, кілець, алгебр Лі і т. д.

Означення

Групи і напівгрупи

Нормалізатором підмножини $U$ в групі (або напівгрупі) $G$ за означенням називається підмножина

N_{G} (U) = {g \in G ∣ g U = U g}

Означення відрізняється від означення централізатора тим, що в даному випадку не повинно обов'язково бути $g u = u g, \forall u \in U$ , але для кожного $u \in U$ має існувати такий $v \in U$ , що $g u = v g$ .

Нормалізатор підмножини $U$ алгебри Лі (або кільця Лі) $𝔏$ задається рівністю Шаблон:Sfn

N_{𝔏} (U) = {x \in 𝔏 ∣ [x, u] \in U

для всіх

u \in U}

Хоч це означення є стандартним для терміна «нормалізатор» в алгебрі Лі, слід зауважити, що ця конструкція є фактично ідеалізатором множини $U$ в $𝔏$ .

Властивості

Групи Шаблон:Sfn

Нормалізатор довільної множини $U$ є підгрупою $G$ .
Централізатор $Z_{G} (U)$ завжди є нормальною підгрупою нормалізатора $N_{G} (U)$ .
Якщо $U$ є піднапівгрупою у $G$ , то $N_{G} (U)$ містить $U$ .
Якщо $H$ є підгрупою $G$ , то найбільша підгрупа, в якій $H$ є нормальною, це $N_{G} (H)$ .
Індекс нормалізатора $N_{G} (U)$ є рівним кількості класів спряженості $g U g^{- 1}$ для множини $U$ , тобто $| {g U g^{- 1} ∣ g \in G} | = [G : N_{G} (U)]$ .
Якщо задати гомоморфізм груп $T : G \to Inn (G)$ , як $T (x) (G) = T_{x} (G) = x g x^{- 1}$ , то можна описати $N_{G} (U)$ в термінах дії групи $Inn (G)$ на $G$ : стабілізатором $U$ у ( $Inn (G)$ ) є $T (N_{G} (U))$ .

Кільця і алгебри Лі Шаблон:Sfn

Якщо $U$ — адитивна підгрупа $𝔏$ , то $N_{𝔏} (U)$ є найбільшим підкільцем Лі (або підалгеброю Лі), в якій $U$ є ідеалом Лі. Шаблон:Sfn
Якщо $U$ — підкільце Лі кільця Лі $A$ , то $U \subseteq N_{A} (U)$ .

Примітки

Шаблон:Reflist

Див. також

Література

Нормалізатор

Зміст

Означення

Властивості

Примітки

Див. також

Література

Навігаційне меню

Нормалізатор

Означення

Властивості

Примітки

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук