Нерівність Коші — Буняковського

Нерівність Коші—Шварца (Коші-Шварца; Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-en) — нерівність, що зв'язує норму та скалярний добуток векторів векторного простору.

Еквівалентно нерівності трикутника для норми в просторі зі скалярним добутком.

Знаходить застосування в лінійній алгебрі для векторів, в математичному аналізі для нескінченних рядів та інтегрування добутків та в теорії ймовірностей при застосуванні до варіації та коваріації.

Нерівність для сум було опубліковано Оґюстеном Коші (1821) (тому цей випадок називають — Нерівність Коші), а відповідна нерівність для інтегралів була вперше сформульована Віктором Буняковським (1859) та вдруге відкрита Германом Шварцем (1888).

Формулювання

Загальний випадок

Для довільних векторів $x$, $y$ із прегільбертового простору виконується наступна нерівність:

$|⟨x,y⟩{|}^2\le ⟨x,x⟩\cdot ⟨y,y⟩$,

де $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ — операція скалярного добутку, а $|\cdot |$ — модуль числа.

Якщо означити норму, то нерівність можна записати як:

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$.

Причому рівність виконується лише у випадку коли вектори $x$, $y$ лінійно залежні.

Частинні випадки

Лінійний простір ℝⁿ

Скалярний добуток векторів $x=(x_1,x_2,\dots x_n)$ і $y=(y_1,y_2,\dots y_n)$ означимо за формулою

$⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$,

тоді отримаємо, що для дійсних чисел $x_1,x_2,\dots x_n,y_1,y_2,\dots y_n$ виконується нерівність

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right).$

у заданій формі нерівність Коші-Шварца часто використовується на математичних олімпіадах.

Лінійний простір C[a; b]

$C[a;b]$ — лінійний простір неперервних на відрізку $C[a;b]$ функцій.

Скалярний добуток для функцій $f(x),g(x)\in C[a;b]$ означимо через

$⟨f(x),g(x)⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx$, то виконуватиметься нерівність

${|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx|}^2\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}{|f(x)|}^{2}dx\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}{|g(x)|}^{2}dx.$

Доведення

Загальний випадок

Для довільного $\lambda \in ℝ.$ Розглянемо скалярний квадрат вектора $x+\lambda y$:

$0\le ⟨x+\lambda y,x+\lambda y⟩=⟨x,x⟩+2\lambda ⟨x,y⟩+{\lambda }^2⟨y,y⟩$

Отримуємо квадратичну нерівність ${\lambda }^2\Vert y{\Vert }^2+2\lambda ⟨x,y⟩+\Vert x{\Vert }^2\ge 0$ для всіх $\lambda \in ℝ$. Це можливо, тоді і тільки тоді, коли її дискримінант $4⟨x,y{⟩}^2-4\Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2$ не більший від нуля.

Звідки отримуємо $⟨x,y⟩\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$.

Частинний випадок

Лінійний простір ℝⁿ

В лінійному просторі ${ℝ}^n$ з введеним скалярним добутком $⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$ нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{(x_i{y}_j-x_j{y}_i)}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2\sum _{j=1}^n{y}_j^2+\sum _{j=1}^n{x}_j^2\sum _{i=1}^n{y}_i^2-2\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\sum _{j=1}^n{x}_j{y}_j$

або після зведення однакових доданків

$\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{(x_i{y}_j-x_j{y}_i)}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2\sum _{i=1}^n{y}_i^2-{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2.$

Оскільки ліва частина останньої тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Шварца в лінійному просторі ${ℝ}^n$

$\sum _{i=1}^n{x}_i^2\sum _{i=1}^n{y}_i^2-{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\ge 0.$

Найвідоміші застосування нерівності Коші-Буняковського

Нерівність трикутника

$\begin{array}{cc}\Vert x+y{\Vert }^2& =⟨x+y,x+y⟩\\ & =\Vert x{\Vert }^2+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+\Vert y{\Vert }^2\\ & \le \Vert x{\Vert }^2+2|⟨x,y⟩|+\Vert y{\Vert }^2\\ & \le \Vert x{\Vert }^2+2\Vert x\Vert \Vert y\Vert +\Vert y{\Vert }^2\\ & ={(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert )}^2,\end{array}$

добувши корінь з обидвох частин, отримаємо нерівність трикутника.

Математичні олімпіади

На математичних олімпіадах часто використовують наслідок з нерівності Коші-Буняковського для лінійного простору ${ℝ}^n$:

для додатних дійсних $a_1,a_2,\dots a_n,b_1,b_2\dots b_n$

$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\dots +\frac{a_n^2}{b_n}\ge \frac{(a_1+a_2+\dots +a_n{)}^2}{b_1+b_2+\dots +b_n}.$

Нерівність негайно слідує з нерівності Коші-Шварца, якщо покласти $x_i=\sqrt{\frac{a_i^2}{b_i}},y_i=\sqrt{b_i}$.

Зокрема дану нерівність можна використати для доведення нерівності Несбіта:

з нерівностей Коші-Шварца і трьох квадратів отримуємо:

$\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(a+c)}+\frac{c^2}{c(a+b)}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{2(ab+bc+ac)}\ge \frac{3}{2},$

з чого негайно слідує нерівність Несбіта.

Див. також

• Скалярний добуток

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Беккенбах.Беллман
• Шаблон:Cite book