Нелінійне рівняння Шредінгера

Нелінійне або кубічне рівняння Шредінгера (НРШ, Шаблон:Lang-en) — нелінійне рівняння в частинних похідних другого порядку, що грає важливу роль в теорії нелінійних хвиль, зокрема, в нелінійній оптиці і фізиці плазми. Є узагальненням лінійного параболічного рівняння, відомого в квантовій механіці як рівняння Шредінгера

Рівняння має вигляд:

$i\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+2\kappa |u{|}^{2}u$

де $u(x,t)$ — комплекснозначна функція.

Значення у фізиці

Будучи нелінійним узагальненням параболічного рівняння, нелінійне рівняння Шредінгера описує динаміку хвильових пакетів в середовищах з дисперсією і кубічною нелінійністю. Подібна ситуація зустрічається, наприклад, при поширенні електромагнітних хвиль в плазмі: з одного боку плазма є диспергуючої середовищем, з іншого боку, при досить високих амплітудах хвилі проявляється пондеромоторна нелінійність, яка в деяких випадках може бути апроксимована кубічним членом. Іншим прикладом є поширення світла в нелінійних кристалах з дисперсією: у багатьох випадках квадратична нелінійність мала або тотожно дорівнює нулю в силу центральної симетрії кристалічної решітки, тому враховується тільки кубічний член.

Розв'язки

Для нелінійного рівняння Шредінгера знайдено велику кількість точних розв'язків, що представляють собою стаціонарні нелінійні хвилі. Зокрема, розв'язком є функції вигляду:

$u(x,t)=\exp \{irx-ist\}v(x-Ut)$

де r, s, U — сталі, що пов'язані співвідношеннями:

$r=\frac{U}{2}s=\frac{U^2}{4}-\alpha$

а функція v(q) задовільняє звичайному диференційному рівнянню вигляду:

$\frac{d^{2}v}{d{q}^2}-\alpha v+\nu v^3=0$

Періодичні розв'язки мають форму кноїдальних хвиль. Крім того, є локалізований розв'язок солітонного типу:

$v=\frac{\sqrt{2\alpha /\nu }}{{\cosh }^2\left[\sqrt{\alpha }(x-Ut)\right]}$

Джерела

• Физическая энциклопедия. Т.2. Гл.ред. А.М.Прохорова. М. Сов.энциклопедия. 1988.- 705с.
• Линейные и нелинейные волны. Дж. Уизем — Мир, 1977. — С. 574—578. — 622 с.