Дисперсія світла

Завдяки дисперсії біле світло можна розкласти в спектр за допомогою призми

Дисперсія світла — залежність показника заломлення (або діелектричної проникності) середовища від частоти світла. Внаслідок зміни показника заломлення змінюється також довжина хвилі.

$k(\omega )=\frac{2\pi }{\lambda (\omega )}=n(\omega )\frac{\omega }{c}$,

де $k(\omega )$ — хвильове число, $\lambda (\omega )$ — довжина хвилі, $n(\omega )$ — показник заломлення, $\omega$ — кутова частота, c — швидкість світла.

Відношення

$v_{ph}=\frac{\omega }{k}=\frac{c}{n}$

називають фазовою швидкістю.

Нормальна й аномальна дисперсії

Здебільшого показник заломлення зростає зі збільшенням частоти. Таке зростання називають нормальною дисперсією. При нормальній дисперсії червоне світло заломлюється слабше, ніж блакитне.

Аномальна дисперсія — зменшення показника заломлення зі збільшенням частоти — спостерігається на частотах, що близькі до смуг інтенсивного поглинання.

Фізична природа явища

Середовище реагує на зміну зовнішнього електричного поля зміною наведеної в ньому поляризації. Поляризація виникає завдяки зміщенню зв'язаних зарядів, наприклад, зміщенню електронів відносно ядер атомів. Процеси зміщення не відбуваються миттєво, а вимагають певного часу. Крім того, зміщення можуть бути різними за величиною, й ставати особливо значними тоді, коли частота зміни зовнішнього поля потрапляє в резонанс із коливаннями, власної частоти системи.

Коли електричне поле світлової хвилі, яка розповсюджується в середовищі, змінюється повільно, середовище встигає повністю відреагувати на зміну поля. Якщо ж електричне поле змінюється дуже швидко, електрони не встигають відслідковувати його зміни. Цим пояснюються різні значення показника заломлення при різних частотах електромагнітних хвиль.

Властивості та прояви

Одним з наочних проявів дисперсії є розкладання білого світла при проходженні його крізь призму (дослід Ньютона). Різниця фазових швидкостей для променів із різною довжиною хвилі при поширенні в прозорому оптичному середовищі зумовлює дисперсію (у вакуумі швидкість світла завжди однакова, незалежно від довжини хвилі випромінювання).

Дисперсія світла дозволила вперше впевнено довести той факт, що біле світло складається з світла інших довжин хвиль.

Явище дисперсії можна спостерігати при заломленні сонячного світла у краплях води, які утворюються в атмосфері. Воно супроводжується розкладом на кольорові промені. Цим пояснюється утворення веселки.

Дисперсією світла пояснюється і хроматична аберація — недолік лінзи, пов'язаний з тим, що зображення предмета має кольорові краї. Це пояснюється тим, що фокусна відстань лінзи для променів різних кольорів є різною.

Узагальнене формулювання високих порядків дисперсії – оптика Лаха—Лагерра

Опис хроматичної дисперсії за допомогою пертурбативного підходу через коефіцієнти Тейлора підходить для оптимізації задач, де необхідно збалансувати дисперсію від декількох різних систем. Наприклад, у лазерних підсилювачах імпульси спочатку розтягуються в часі, щоб уникнути оптичного пошкодження кристалів. Потім, у процесі посилення енергії, імпульси накопичують неминучу лінійну та нелінійну фазу, проходячи через різні матеріали. Нарешті, імпульси стискаються у різних типах компресорів. Щоб скинути будь-які залишкові вищі порядки в накопиченої фазі, окремі порядки дисперсії зазвичай вимірюються і балансуються. Для однорідних систем такий пертурбативний опис часто не потрібний (наприклад, поширення імпульсу в хвилеводах чи оптичних волокнах). Дисперсійні порядки зводяться до аналітичних рівнянь, які аналогічні узагальненим перетворенням Лаха—Лагера.

Порядки дисперсії визначаються розкладанням фази Тейлора або хвильового вектора.

$\begin{array}{c}\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\phi {|}_{{\omega }_0}+{\frac{\partial \phi }{\partial \omega }|}_{{\omega }_0}(\omega -{\omega }_0)+\frac{1}{2}{\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\omega }^2}|}_{{\omega }_0}{(\omega -{\omega }_0)}^2+\dots +\frac{1}{p!}{\frac{{\partial }^p\phi }{\partial {\omega }^p}|}_{{\omega }_0}{(\omega -{\omega }_0)}^p+\dots \end{array}$

$\begin{array}{c}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=k{|}_{{\omega }_0}+{\frac{\partial k}{\partial \omega }|}_{{\omega }_0}(\omega -{\omega }_0)+\frac{1}{2}{\frac{{\partial }^{2}k}{\partial {\omega }^2}|}_{{\omega }_0}{(\omega -{\omega }_0)}^2+\dots +\frac{1}{p!}{\frac{{\partial }^{p}k}{\partial {\omega }^p}|}_{{\omega }_0}{(\omega -{\omega }_0)}^p+\dots \end{array}$

Виробничі дисперсії для хвильового вектора $k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\omega }{c}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}$ і фази $\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\omega }{c}𝑂𝑃\mathrm{(}\omega \mathrm{)}$ може бути виражається як:

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^p}{\partial {\omega }^p}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{1}{c}(p\frac{{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}+\omega \frac{{\partial }^p}{\partial {\omega }^p}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)})\end{array}$, $\begin{array}{c}\frac{{\partial }^p}{\partial {\omega }^p}\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{1}{c}(p\frac{{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}𝑂𝑃\mathrm{(}\omega \mathrm{)}+\omega \frac{{\partial }^p}{\partial {\omega }^p}𝑂𝑃\mathrm{(}\omega \mathrm{)})\end{array}(1)$

Похідні будь-якої функції, що диференціюється $f\mathrm{(}\omega \mathrm{|}\lambda \mathrm{)}$ у просторі довжин хвиль або частот визначаються через перетворення Лаха як:

$\begin{array}{c}\frac{\partial p}{\partial {\omega }^p}f\mathrm{(}\omega \mathrm{)}={\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum _{m=0}^p𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\lambda }^m\frac{{\partial }^m}{\partial {\lambda }^m}f\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}\end{array}$ $,$ $\begin{array}{c}\frac{{\partial }^p}{\partial {\lambda }^p}f\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}={\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\omega }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum _{m=0}^p𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\omega }^m\frac{{\partial }^m}{\partial {\omega }^m}f\mathrm{(}\omega \mathrm{)}\end{array}(2)$

Матричні елементи перетворення є коефіцієнтами Лаха: $𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}=\frac{p\mathrm{!}}{\left(p\mathrm{-}m\right)\mathrm{!}m\mathrm{!}}\frac{\mathrm{(}p\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{!}}{\mathrm{(}m\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{!}}$

Записане для дисперсії групової швидкості GDD, наведене вище вираз стверджує, що постійна довжина хвилі GGD матиме нульові вищі порядки. Вищими порядками, отриманими з GDD, є:

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^p}{\partial {\omega }^p}GDD\mathrm{(}\omega \mathrm{)}={\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum _{m=0}^p𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\lambda }^m\frac{{\partial }^m}{\partial {\lambda }^m}GDD\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}\end{array}$

Підстановка рівняння (2), вираженого для показника заломлення $n$ або оптичного шляху $OP$, рівняння (1) призводить до аналітичних виразів для порядків дисперсії. Загалом дисперсія $p^{th}$ порядку POD є перетворенням типу Лагерра негативного другого порядку:

$POD=\frac{d^p\phi (\omega )}{d{\omega }^p}=(-1{)}^p(\frac{\lambda }{2\pi c}{)}^{(p-1)}\sum _{m=0}^pℬ\mathcal{(}𝓅,𝓂\mathcal{)}(\lambda {)}^m\frac{d^{m}OP(\lambda )}{d{\lambda }^m}$ $,$ $POD=\frac{d^{p}k(\omega )}{d{\omega }^p}=(-1{)}^p(\frac{\lambda }{2\pi c}{)}^{(p-1)}\sum _{m=0}^pℬ\mathcal{(}𝓅,𝓂\mathcal{)}(\lambda {)}^m\frac{d^{m}n(\lambda )}{d{\lambda }^m}$

Матричні елементи перетворень є беззнаковими коефіцієнтами Лагерра порядку мінус 2 і мають вигляд: $ℬ\mathrm{(}p,m\mathrm{)}=\frac{p\mathrm{!}}{\left(p\mathrm{-}m\right)\mathrm{!}m\mathrm{!}}\frac{\mathrm{(}p\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{)}\mathrm{!}}{\mathrm{(}m\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{)}\mathrm{!}}$

Перші десять порядків дисперсії, записані явно для хвильового вектора:

$\begin{array}{c}𝐺𝐷=\frac{\partial }{\partial \omega }k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}+\omega \frac{\partial n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega })=\frac{\mathrm{1}}{c}(n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}-\lambda \frac{\partial n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda })=v_{gr}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\end{array}$

Груповий показник заломлення $n_g$ визначається як: $n_g=c{v}_{gr}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$.

$\begin{array}{c}𝐺𝐷𝐷=\frac{{\partial }^2}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{2}\frac{\partial n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega }+\omega \frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}})=\frac{\mathrm{1}}{c}\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)\left({\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}𝑇𝑂𝐷=\frac{{\partial }^3}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{3}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}}+\omega \frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}})=-\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{2}}(\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝐹𝑂𝐷=\frac{{\partial }^4}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{4}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}}+\omega \frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}})=\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{3}}(\mathrm{1}\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{8}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝐹𝑖𝑂𝐷=\frac{{\partial }^5}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{5}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}}+\omega \frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}})=-\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{4}}(\mathrm{6}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{6}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{1}\mathrm{5}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝑆𝑖𝑂𝐷=\frac{{\partial }^6}{\partial {\omega }^{\mathrm{6}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{6}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}}+\omega \frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{6}}})=\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{5}}(\mathrm{3}\mathrm{6}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}\mathrm{8}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{1}\mathrm{8}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{2}\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝑆𝑒𝑂𝐷=\frac{{\partial }^7}{\partial {\omega }^{\mathrm{7}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{7}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{{\partial \omega }^{\mathrm{6}}}+\omega \frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{{\partial \omega }^{\mathrm{7}}})=-\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{6}}(\mathrm{2}\mathrm{5}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}\mathrm{2}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{2}\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{4}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{3}\mathrm{5}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝐸𝑂𝐷=\frac{{\partial }^8}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{8}\frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{{\partial \omega }^{\mathrm{7}}}+\omega \frac{{\partial }^{8}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}})=\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{7}}(\mathrm{2}\mathrm{0}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}\mathrm{0}\mathrm{3}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{2}\mathrm{5}\mathrm{2}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{6}\mathrm{7}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{8}\mathrm{4}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\\ +\mathrm{4}\mathrm{8}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^{8}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝑁𝑂𝐷=\frac{{\partial }^9}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{9}\frac{{\partial }^{8}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}}+\omega \frac{{\partial }^{9}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}})=-\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{8}}(\mathrm{1}\mathrm{8}\mathrm{1}\mathrm{4}\mathrm{4}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}\mathrm{2}\mathrm{3}\mathrm{3}\mathrm{6}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{3}\mathrm{1}\mathrm{7}\mathrm{5}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{5}\mathrm{8}\mathrm{4}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{1}\mathrm{7}\mathrm{6}\mathrm{4}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\\ +\mathrm{1}\mathrm{5}\mathrm{1}\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\mathrm{6}\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^{8}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{{\partial }^{9}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}𝑇𝑒𝑂𝐷=\frac{{\partial }^{10}}{\partial {\omega }^{\mathrm{1}\mathrm{0}}}k\mathrm{(}\omega \mathrm{)}=\frac{\mathrm{1}}{c}(\mathrm{1}\mathrm{0}\frac{{\partial }^{9}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}}+\omega \frac{{\partial }^{10}n\mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{1}\mathrm{0}}})=\frac{\mathrm{1}}{c}{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{9}}(\mathrm{1}\mathrm{8}\mathrm{1}\mathrm{4}\mathrm{4}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{2}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}\mathrm{8}\mathrm{3}\mathrm{8}\mathrm{4}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{3}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{4}\mathrm{2}\mathrm{3}\mathrm{3}\mathrm{6}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^{4}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+1693440{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^{5}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\\ +\mathrm{3}\mathrm{5}\mathrm{2}\mathrm{8}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^{6}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\mathrm{4}\mathrm{0}\mathrm{3}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^{7}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\mathrm{2}\mathrm{5}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^{8}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+\mathrm{8}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{{\partial }^{9}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}}+{\lambda }^{\mathrm{1}\mathrm{0}}\frac{{\partial }^{10}n\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{1}\mathrm{0}}})\end{array}$

У явному вигляді, записані для фази $\phi$, перші десять порядків дисперсії можуть бути виражені як функція довжини хвилі за допомогою перетворення Лаха (рівняння (2)) у вигляді:

$\begin{array}{c}\frac{\partial p}{\partial {\omega }^p}f\mathrm{(}\omega \mathrm{)}={\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum _{m=0}^p𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\lambda }^m\frac{{\partial }^m}{\partial {\lambda }^m}f\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}\end{array}$ $,$ $\begin{array}{c}\frac{{\partial }^p}{\partial {\lambda }^p}f\mathrm{(}\lambda \mathrm{)}={\left(\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}^p{\left(\frac{\omega }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^p\sum _{m=0}^p𝒜\mathrm{(}p,m\mathrm{)}{\omega }^m\frac{{\partial }^m}{\partial {\omega }^m}f\mathrm{(}\omega \mathrm{)}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{\partial \phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega }=-\left(\frac{\mathrm{2}\pi c}{{\omega }^{\mathrm{2}}}\right)\frac{\partial \phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \lambda }=-\left(\frac{{\lambda }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\pi c}\right)\frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{2}}}=\frac{\partial }{\partial \omega }\left(\frac{\partial \phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial \omega }\right)={\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{3}}}=-{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{3}}(\mathrm{6}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{6}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{4}}}={\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{4}}(\mathrm{2}\mathrm{4}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{3}\mathrm{6}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{\mathrm{5}}\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{5}}}=-{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{5}}(\mathrm{1}\mathrm{2}\mathrm{0}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{2}\mathrm{4}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{6}}}={\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{6}}(\mathrm{7}\mathrm{2}\mathrm{0}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{1}\mathrm{8}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\mathrm{2}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{3}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{3}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}\mathrm{+}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^7\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{7}}}=-{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{7}}(\mathrm{5}\mathrm{0}\mathrm{4}\mathrm{0}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{1}\mathrm{5}\mathrm{1}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\mathrm{2}\mathrm{6}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{4}\mathrm{2}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{6}\mathrm{3}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{4}\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^7\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^8\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{8}}}={\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{8}}(\mathrm{4}\mathrm{0}\mathrm{3}\mathrm{2}\mathrm{0}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{1}\mathrm{4}\mathrm{1}\mathrm{1}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\mathrm{4}\mathrm{1}\mathrm{1}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{5}\mathrm{8}\mathrm{8}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{1}\mathrm{1}\mathrm{7}\mathrm{6}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{1}\mathrm{1}\mathrm{7}\mathrm{6}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\mathrm{5}\mathrm{6}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^7\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\\ +{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^8\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}})\end{array}$ $\begin{array}{c}\frac{{\partial }^9\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{9}}}=-{\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{9}}(\mathrm{3}\mathrm{6}\mathrm{2}\mathrm{8}\mathrm{8}\mathrm{0}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{1}\mathrm{4}\mathrm{5}\mathrm{1}\mathrm{5}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{9}\mathrm{3}\mathrm{4}\mathrm{4}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{8}\mathrm{4}\mathrm{6}\mathrm{7}\mathrm{2}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{2}\mathrm{1}\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{8}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{2}\mathrm{8}\mathrm{2}\mathrm{2}\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\\ +\mathrm{2}\mathrm{0}\mathrm{1}\mathrm{6}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^7\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\mathrm{7}\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^8\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{{\partial }^{\mathrm{9}}\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}})\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{10}\phi \mathrm{(}\omega \mathrm{)}}{\partial {\omega }^{\mathrm{1}\mathrm{0}}}={\left(\frac{\lambda }{\mathrm{2}\pi c}\right)}^{\mathrm{1}\mathrm{0}}(\mathrm{3}\mathrm{6}\mathrm{2}\mathrm{8}\mathrm{8}\mathrm{0}\mathrm{0}\lambda \frac{\partial \phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial \lambda }+\mathrm{1}\mathrm{6}\mathrm{3}\mathrm{2}\mathrm{9}\mathrm{6}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^2\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}\mathrm{1}\mathrm{7}\mathrm{7}\mathrm{2}\mathrm{8}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^3\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{3}}}+\mathrm{1}\mathrm{2}\mathrm{7}\mathrm{0}\mathrm{0}\mathrm{8}\mathrm{0}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{4}}\frac{{\partial }^4\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{4}}}+\mathrm{3}\mathrm{8}\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{2}\mathrm{4}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{5}}\frac{{\partial }^5\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{5}}}+\mathrm{6}\mathrm{3}\mathrm{5}\mathrm{0}\mathrm{4}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{6}}\frac{{\partial }^6\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{6}}}+\\ +\mathrm{6}\mathrm{0}\mathrm{4}\mathrm{8}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{7}}\frac{{\partial }^7\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{7}}}+\mathrm{3}\mathrm{2}\mathrm{4}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{8}}\frac{{\partial }^8\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{8}}}+\mathrm{9}\mathrm{0}{\lambda }^{\mathrm{9}}\frac{{\partial }^9\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{9}}}+{\lambda }^{\mathrm{1}\mathrm{0}}\frac{{\partial }^{10}\phi \mathrm{(}\lambda \mathrm{)}}{\partial {\lambda }^{\mathrm{1}\mathrm{0}}})\end{array}$

Див. також

• Дисперсія хвилі

Література

• Шаблон:Книга
• Електронна поляризовність фероїків: монографія / В. Й. Стадник, М. О. Романюк, Р. С. Брезвін; Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. — Львів: ЛНУ ім. І. Франка, 2014. — 305 c. — Бібліогр.: с. 287—305.
• В. Левін, В. Гольдштейн Проста фізика. Від атомного ядра до межі Всесвіту. — Шаблон:К. : Наш формат, 2020. — 296 с.
• Шаблон:Стаття

Посилання

• Шаблон:УСЕ-4