Некорельованість

У теорії ймовірностей та статистиці дві дійсні випадкові величини $X$ й $Y$ називаються некорельованими, якщо їхня коваріація $\mathrm{cov}[X,Y]=\mathrm{E}[XY]-\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[Y]$ дорівнює нулю. Якщо дві величини некорельовані, то між ними не існує лінійної залежності.

Некорельовані випадкові величини мають нульовий коефіцієнт кореляції Пірсона, якщо він існує, за винятком тривіального випадку, коли будь-яка змінна має нульову дисперсію (є константою). У цьому випадку кореляція невизначена.

Загалом, некорельованість — це не те ж саме, що ортогональність, за винятком особливого випадку, коли математичне очікування принаймні однієї з двох випадкових величин дорівнює 0. У цьому випадку коваріація є математичним очікуванням добутку, а $X$ та $Y$ некорельовані тоді й лише тоді, коли $\mathrm{E}[XY]=0$.

Якщо $X$ та $Y$ незалежні, зі скінченними моментами другого порядку, то вони некорельовані. Однак не всі некорельовані величини є незалежними.Шаблон:Rp

Означення

Означення для двох дійсних випадкових величин

Дві випадкові величини

$X$

та

$Y$

називаються некорельованими, якщо їхня коваріація

$\mathrm{cov}[X,Y]=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]$

дорівнює нулю. Шаблон:RpШаблон:Rp Формально:

$X,Y\text{ некорельовані}⟺\mathrm{E}[XY]=\mathrm{E}[X]\cdot \mathrm{E}[Y].$

Означення для двох комплексних випадкових величин

Дві Шаблон:Нп $Z$, $W$ називаються некорельованими, якщо їхня коваріація

${\mathrm{K}}_{ZW}=\mathrm{E}[(Z-\mathrm{E}[Z])\overline{(W-\mathrm{E}[W])}]$

та псевдоковаріація

${\mathrm{J}}_{ZW}=\mathrm{E}[(Z-\mathrm{E}[Z])(W-\mathrm{E}[W])]$

дорівнюють нулю. Іншими словами,

$Z,W\text{ некорельовані}⟺\mathrm{E}[Z\bar{W}]=\mathrm{E}[Z]\cdot \mathrm{E}[\bar{W}]\text{та}\mathrm{E}[ZW]=\mathrm{E}[Z]\cdot \mathrm{E}[W].$

Означення для більше ніж двох випадкових змінних

Набір, що складається з двох або більше випадкових величин $X_1,\dots ,X_n$ називається некорельованим, якщо величини попарно некорельовані. Це еквівалентно вимозі, щоб недіагональні елементи матриці автоковаріацій ${\mathrm{K}}_{𝐗𝐗}$ випадкового вектора $𝐗=(X_1,\dots ,X_n{)}^{𝖳}$ дорівнювали нулю. Матриця автоковаріацій визначається як:

${\mathrm{K}}_{𝐗𝐗}=\mathrm{cov}[𝐗,𝐗]=\mathrm{E}[(𝐗-\mathrm{E}[𝐗])(𝐗-\mathrm{E}[𝐗]{)}^{𝖳}]=\mathrm{E}[𝐗𝐗{]}^{𝖳}-\mathrm{E}[𝐗]\mathrm{E}[𝐗{]}^{𝖳}.$

Приклади залежності без кореляції

   Основна стаття: Кореляція та залежність

Приклад 1

• Нехай $X$ — випадкова величина, що набуває значення $0$ або $1$ з ймовірністю $1/2$.
• Нехай $Y$ — незалежна від $X$ випадкова величина, що набуває значення $-1$ або $1$ з ймовірністю $1/2$.
• Нехай $U$ — випадкова величина, що визначається як $U=XY$.

Твердження полягає в тому, що $U$ і $X$ мають нульову коваріацію (отже, некорельовані), але не є незалежними.

\emph{Доведення:} Враховуючи, що

$\mathrm{E}[U]=\mathrm{E}[XY]=\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[Y]=\mathrm{E}[X]\cdot 0=0,$

де друга рівність виконується так як $X$ та $Y$ незалежні, тому отримуємо

$\begin{array}{cc}\mathrm{cov}[U,X]& =\mathrm{E}[(U-\mathrm{E}[U])(X-\mathrm{E}[X])]=\mathrm{E}[U(X-\frac{1}{2})]\\ & =\mathrm{E}[X^{2}Y-\frac{1}{2}XY]=\mathrm{E}[(X^2-\frac{1}{2}X)Y]=\mathrm{E}[(X^2-\frac{1}{2}X)]\mathrm{E}[Y]=0.\end{array}$

Таким чином, $U$ та $X$ — некорельовані.

Незалежність $U$ та $X$ означає, що для всіх $a$ та $b$ має місце рівність $\mathrm{Pr}(U=a\mid X=b)=\mathrm{Pr}(U=a)$. Це невірно, зокрема, для $a=1$ та $b=0$.

• $\mathrm{Pr}(U=1\mid X=0)=\mathrm{Pr}(XY=1\mid X=0)=0$;
• $\mathrm{Pr}(U=1)=\mathrm{Pr}(XY=1)=1/4$.

Таким чином, $\mathrm{Pr}(U=1\mid X=0)\ne \mathrm{Pr}(U=1)$, тому $U$ та $X$ є залежними.

Що і треба було довести.

Приклад 2

Якщо неперервна випадкова величина $X$ рівномірно розподілена на проміжку $[-1,1]$ та $Y=X^2$, то $X$ та $Y$ некорельовані навіть, якщо $X$ визначає $Y$ та часткове значення $Y$ можна отримати за допомогою лише одного або двох значень $X$:

$f_X(t)=\frac{1}{2}{I}_{[-1,1]};f_Y(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}{I}_{[0,1]}.$

З іншого боку, $f_{X,Y}$ дорівнює нулю на трикутнику, заданому подвійною нерівністю $0<X<Y<1$, хоча $f_X\cdot f_Y$ не дорівнює нулю в цій області. Тому $f_{X,Y}(X,Y)\ne f_X(X)\cdot f_Y(Y)$, а змінні не є незалежними:

$\mathrm{E}[X]=\frac{1-1}{4}=0;\mathrm{E}[Y]=\frac{1^3-(-1{)}^3}{3\cdot 2}=\frac{1}{3},$

$\mathrm{cov}[X,Y]=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]=\mathrm{E}[X^3-\frac{X}{3}]=\frac{1^4-(-1{)}^4}{4\cdot 2}=0.$

Таким чином, величини є некорельованими.

Коли некорельованість означає незалежність

Існують випадки, в яких некорельованість означає незалежність. Одним із таких є випадок, коли обидві випадкові величини є двозначними (тому кожна може бути лінійно перетворена до величини з розподілом Бернуллі. Крім того, дві сумісно нормально розподілені випадкові змінні є незалежними, якщо вони некорельовані. Крім того, дві сумісно нормально розподілені випадкові змінні є незалежними, якщо вони некорельовані, хоча це не справджується для змінних, чий граничний розподіл є нормальним і некорельованим, але чий сумісний розподіл не є сумісним нормальним (див. Шаблон:Нп).

Узагальнення

Некорельовані випадкові вектори

Два випадкові вектори $𝐗=(X_1,\dots ,X_m{)}^{𝖳}$ та $𝐘=(Y_1,\dots ,Y_n{)}^{𝖳}$ називаються некорельованими, якщо

$\mathrm{E}[{𝐗𝐘}^{𝖳}]=\mathrm{E}[𝐗]\mathrm{E}[𝐘{]}^{𝖳}.$

Вони некорельовані тоді й лише тоді, якщо їхня Шаблон:Нп ${\mathrm{K}}_{𝐗,𝐘}$ дорівнює нулю. Шаблон:Rp

Два комплексні випадкові вектори $𝐙$ та $𝐖$ називаються некорельованими, якщо їхня крос-коваріаційна матриця та псведокрос-коваріаційна матриця дорівнюють нулю, тобто якщо

${\mathrm{K}}_{𝐙𝐖}={\mathrm{J}}_{𝐙𝐖}=0$,

де

${\mathrm{K}}_{𝐙𝐖}=\mathrm{E}[(𝐙-\mathrm{E}[𝐙])(𝐖-\mathrm{E}[𝐖]{)}^{𝖧}]$

та

${\mathrm{J}}_{𝐙𝐖}=\mathrm{E}[(𝐙-\mathrm{E}[𝐙])(𝐖-\mathrm{E}[𝐖]{)}^{𝖳}].$

Некорельовані стохастичні процеси

Два стохастичні процеси $\{X_t\}$ та $\{Y_t\}$ називаються некорельованими, якщо їхня крос-коваріація

${\mathrm{K}}_{𝐗𝐘}(t_1,t_2)=\mathrm{E}[(X(t_1)-{\mu }_X(t_1))(Y(t_2)-{\mu }_Y(t_2))]$

завжди дорівнює нулю.Шаблон:Rp Формально:

$\{X_t\},\{Y_t\}\text{ некорельовані}⟺\mathrm{\forall }{t}_1,t_2{\mathrm{K}}_{𝐗𝐘}(t_1,t_2)=0$.

Див. також

• Кореляція і залежність
• Біноміальний розподіл: коваріація між двома біномами
• Шаблон:Нп

Додаткова література

• Probability for Statisticians, Galen R. Shorack, Springer (c2000) Шаблон:ISBN