Автоковаріація

Шаблон:Кореляція та коваріація У теорії ймовірностей та статистиці для заданого стохастичного процесу автоковаріа́ція (Шаблон:Lang-en) — це функція, яка дає коваріацію цього процесу із самим собою в парах моментів часу. Автоковаріація процесу тісно пов'язана з його автокореляцією.

Автоковаріація стохастичних процесів

Визначення

За звичайного позначення $\mathrm{E}$ для оператора математичного сподівання, якщо стохастичний процес $\left\{X_t\right\}$ має функцію середнього значення ${\mu }_t=\mathrm{E}[X_t]$, то автоковаріацію визначають якШаблон:Rp

де $t_1$ та $t_2$ — два моменти часу.

Визначення для слабко стаціонарного процесу

Якщо $\left\{X_t\right\}$ — слабко стаціонарний процес, то має місце наступне:Шаблон:Rp

${\mu }_{t_1}={\mu }_{t_2}\triangleq \mu$ для всіх $t_1,t_2$

і

$\mathrm{E}[|X_t{|}^2]<\mathrm{\infty }$ для всіх $t$

і

${\mathrm{K}}_{XX}(t_1,t_2)={\mathrm{K}}_{XX}(t_2-t_1,0)\triangleq {\mathrm{K}}_{XX}(t_2-t_1)={\mathrm{K}}_{XX}(\tau ),$

де $\tau =t_2-t_1$ — запізнювання в часі (Шаблон:Lang-en), або кількість часу, на яку було зміщено сигнал.

Таким чином, автоковаріаційна функція слабко стаціонарного процесу задається якШаблон:Rp

що рівнозначне

${\mathrm{K}}_{XX}(\tau )=\mathrm{E}[(X_{t+\tau }-{\mu }_{t+\tau })(X_t-{\mu }_t)]=\mathrm{E}[X_{t+\tau }{X}_t]-{\mu }^2$.

Унормовування

Поширеною практикою в деяких дисциплінах (наприклад, у статистиці та аналізі часових рядів) є унормовувати автоковаріаційну функцію, щоб отримувати залежний від часу коефіцієнт кореляції Пірсона. Проте в деяких інших дисциплінах (наприклад, в інженерії) унормовування зазвичай пропускають, а терміни «автокореляція» та «автоковаріація» використовують як взаємозамінні.

Визначення нормованої автокореляції стохастичного процесу:

${\rho }_{XX}(t_1,t_2)=\frac{{\mathrm{K}}_{XX}(t_1,t_2)}{{\sigma }_{t_1}{\sigma }_{t_2}}=\frac{\mathrm{E}[(X_{t_1}-{\mu }_{t_1})(X_{t_2}-{\mu }_{t_2})]}{{\sigma }_{t_1}{\sigma }_{t_2}}$.

Якщо функція ${\rho }_{XX}$ однозначно визначена, її значення мусять лежати в діапазоні $[-1,1]$, причому 1 вказує на ідеальну кореляцію, а −1 — на ідеальну антикореляцію.

Для слабко стаціонарного процесу визначення таке:

${\rho }_{XX}(\tau )=\frac{{\mathrm{K}}_{XX}(\tau )}{{\sigma }^2}=\frac{\mathrm{E}[(X_t-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{{\sigma }^2}$.

де

${\mathrm{K}}_{XX}(0)={\sigma }^2$.

Властивості

Властивість симетрії

${\mathrm{K}}_{XX}(t_1,t_2)=\overline{{\mathrm{K}}_{XX}(t_2,t_1)}$Шаблон:Rp

відповідно, для слабко стаціонарного процесу:

${\mathrm{K}}_{XX}(\tau )=\overline{{\mathrm{K}}_{XX}(-\tau )}$Шаблон:Rp

Лінійні фільтри

Автоковаріацією процесу з лінійним фільтром $\left\{Y_t\right\}$

$Y_t=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{X}_{t+k}$

є

$K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{a}_l{K}_{XX}(\tau +k-l).$

Обчислення турбулентної дифузійності

Автоковаріацію можливо використовувати для обчислення Шаблон:Нп. Турбулентність у потоці може спричинювати флуктуації швидкості в просторі й часі. Таким чином, ми можемо визначати турбулентність за допомогою статистики цих флуктуаційШаблон:Джерело.

Для визначання флуктуацій швидкості $u^{\prime }(x,t)$ використовують Шаблон:Нп (припустімо, що ми зараз працюємо з одновимірною задачею, й $U(x,t)$ — швидкість уздовж напрямку $x$):

$U(x,t)=⟨U(x,t)⟩+u^{\prime }(x,t),$

де $U(x,t)$ — істинна швидкість, а $⟨U(x,t)⟩$ — Шаблон:Нп. Якщо ми оберемо правильне $⟨U(x,t)⟩$, то всі стохастичні складові турбулентної швидкості буде включено до $u^{\prime }(x,t)$. Щоби визначити $⟨U(x,t)⟩$, необхідний набір вимірювань швидкості, зібраних із точок у просторі, моментів часу, або повторюваних експериментів.

Якщо ми припускаємо, що турбулентний потік $⟨u^{\prime }{c}^{\prime }⟩$ ($c^{\prime }=c-⟨c⟩$, а c — член концентрації) може бути викликано випадковим блуканням, то для вираження члену турбулентного потоку ми можемо використовувати закони дифузії Фіка:

$J_{{\text{turbulence}}_x}=⟨u^{\prime }{c}^{\prime }⟩\approx D_{T_x}\frac{\partial ⟨c⟩}{\partial x}.$

Автоковаріація швидкості визначається як

$K_{XX}\equiv ⟨u^{\prime }(t_0)u^{\prime }(t_0+\tau )⟩$ або $K_{XX}\equiv ⟨u^{\prime }(x_0)u^{\prime }(x_0+r)⟩,$

де $\tau$ — часове, а $r$ — просторове відставання.

Турбулентну дифузійність $D_{T_x}$ можливо обчислювати за допомогою наступних 3 методів:

Див. також

• Авторегресійний процес
• Кореляція
• Взаємна коваріація
• Взаємна кореляція
• Оцінювання коваріацій шумів (як приклад застосування)

Література

• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Конспект лекції з автоковаріації ВГОІ Шаблон:Ref-en