Намисто Антуана

Перша ітерація

Друга ітерація

Намисто Антуана (антуанівська множина) — приклад підмножини евклідового простору, яка гомеоморфна канторовій множині, але при цьому має неоднозв'язне доповнення.

Побудував Шаблон:Нп 1921 року.

Побудова

Намисто будується як перетин спадної послідовності компактних множин:

$K_1\supset K_2\supset \dots$

такої, що кожне $K_n$ є об'єднанням скінченного числа неперетинних повноторів.

Якщо найбільший діаметр повнотора в $K_n$ прямує до нуля при $n\to \mathrm{\infty }$, то перетин:

$K=\bigcap _n{K}_n$

є компактною цілком незв'язною множиною без ізольованих точок, а отже гомеоморфним канторовій множині.

З іншого боку, можна вибрати послідовність $K_n$ так, що доповнення до отриманого $K$ неоднозв'язне, для цього перетин $K_{n+1}$ з кожним повнотором у $K_n$ має утворювати замкнутий ланцюг, як на малюнку.

Див. також

• Дика сфера
• Дикий вузол
• Многовид Вайтгеда