Многовид Вайтгеда

Перші три повнотори в побудові

Многовид Вайтгеда — приклад відкритого тривимірного многовиду, що є стягуваним, але не гомеоморфним ${ℝ}^3$. Генрі Вайтгед знайшов приклад 1935 року намагаючись розв'язати гіпотезу Пуанкаре.

В одновимірному та двовимірному випадках подібних прикладів не існує.

Побудова

Зачеплення Вайтгеда

Для побудови тривимірної сфери вибирається незавузлений повнотор $T_1$, далі — другий повнотор $T_2$ в $T_1$ так, що $T_2$ і трубчастий окіл меридіана $T_1$ утворюють потовщення зачеплення Вайтгеда. При цьому $T_2$ можна стягнути в доповненні меридіана $T_1$ і меридіан $T_1$ можна стягнути в доповненні $T_2$.

Далі будується повнотор $T_3$, вкладений у $T_2$ таким самим способом, як і $T_2$ для $T_1$; цю побудову можна продовжити до нескінченності, отримавши послідовність вкладених повнотрів:

$T_1\subset T_2\subset T_3\subset \dots$

Шаблон:ЯкірКонтинуум Вайтгеда визначається як перетин побудованих повноторів:

$W=\bigcap _i{T}_i$.

Доповнення $W$ в тривимірній сфері і є многовидом Вайтгеда.

Властивості

• Многовид Вайтгеда, $W$не гомеоморфний ${ℝ}^3$, але добуток $W\times ℝ$ гомеоморфний ${ℝ}^4$.
• Многовид Вайтгеда містить компактну множину $K$ таку, що для будь-якої іншої компактної множини $K^{\prime }\supset K$ доповнення $W\mathrm{\setminus }{K}^{\prime }$ не однозв'язне.

Див. також

• Намисто Антуана

Література

• Шаблон:Книга