Надскладене число

Перші чотири надскладені числа: 1, 2, 4, 6 і їх розкладання на дільники

Надскладене число — натуральне число з більшою кількістю дільників, ніж у будь-якого меншого натурального числа.

Історія

Термін запропонував Рамануджан 1915 року. Однак Шаблон:Нп розглядав їх раніше, і, можливо, вони були відомі вже Платону, який описав число 5040 як ідеальну кількість громадян міста, оскільки 5040 має більше дільників, ніж будь-яке менше число.

Приклади

У таблиці наведено перші 38 надскладених чисел (Шаблон:OEIS).

Номер	Надскладене	Розклад на прості	Кількість дільників	Розклад на прайморіали
1	1		1
2	2	$2$	2	$2$
3	4	$2^2$	3	$2^2$
4	6	$2\cdot 3$	4	$6$
5	12	$2^2\cdot 3$	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^3\cdot 3$	8	$2^2\cdot 6$
7	36	$2^2\cdot 3^2$	9	$6^2$
8	48	$2^4\cdot 3$	10	$2^3\cdot 6$
9	60	$2^2\cdot 3\cdot 5$	12	$2\cdot 30$
10	120	$2^3\cdot 3\cdot 5$	16	$2^2\cdot 30$
11	180	$2^2\cdot 3^2\cdot 5$	18	$6\cdot 30$
12	240	$2^4\cdot 3\cdot 5$	20	$2^3\cdot 30$
13	360	$2^3\cdot 3^2\cdot 5$	24	$2\cdot 6\cdot 30$
14	720	$2^4\cdot 3^2\cdot 5$	30	$2^2\cdot 6\cdot 30$
15	840	$2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	32	$2^2\cdot 210$
16	1260	$2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	40	$2^3\cdot 210$
18	2520	$2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19	5040	$2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$	60	$2^2\cdot 6\cdot 210$
20	7560	$2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7$	64	$6^2\cdot 210$
21	10080	$2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$	72	$2^3\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7$	80	$2\cdot 6^2\cdot 210$
23	20160	$2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$	84	$2^4\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7$	90	$2^2\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$	100	$6^3\cdot 210$
27	50400	$2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7$	108	$2^3\cdot 30\cdot 210$
28	55440	$2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	120	$2^2\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	128	$6^2\cdot 2310$
30	110880	$2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	144	$2^3\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	160	$2\cdot 6^2\cdot 2310$
32	221760	$2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	168	$2^4\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$	180	$2^2\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	192	$2^2\cdot 6^2\cdot 2310$
35	498960	$2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	200	$6^3\cdot 2310$
36	554400	$2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$	216	$2^3\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^6\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	224	$2^3\cdot 6^2\cdot 2310$
38	720720	$2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	240	$2^2\cdot 6\cdot 30030$

Розклад на прості

У розкладанні надскладених чисел беруть участь найменші прості множники, і при цьому не надто багато однакових.

За основною теоремою арифметики кожне натуральне число $n$ має єдиний розклад на прості:

$n=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times \cdots \times p_k^{c_k}(1)$

де $p_1<p_2<\cdots <p_k$ прості, і показники $c_i$ додатні цілі числа. Кількість дільників $d(n)$ числа $n$ можна виразити так:

$d(n)=(c_1+1)\times (c_2+1)\times \cdots \times (c_k+1).(2)$

Таким чином, для надскладеного числа $n$ виконується таке:

• Числа $p_1,p_2,\dots ,p_k$ є першими $k$ простими числами.
• Послідовність степенів повинна бути незростаюча, тобто $c_1\ge c_2\ge \cdots \ge c_k$ .
  • Ця властивість рівнозначна тому, що надскладене число є добутком прайморіалів.
• За винятком двох особливих випадків n = 4 та N = 36, останній степінь $c_k$ дорівнює одиниці.

Зокрема тільки 1, 4 і 36 є надскладеними квадратами.

Хоча описані вище умови є необхідними, вони не є достатніми. Наприклад, 96 = 2 ⁵ × 3 задовольняє всім перерахованим вище умовам і має 12 дільників, але не є надскладеним, оскільки існує менше число 60, яке має таку саму кількість дільників.

Асимптотичне зростання і щільність

Існують сталі a і b, обидві більші, ніж 1, такі, що

$\ln (x{)}^a\le Q(x)\le \ln (x{)}^b,$

де $Q(x)$ позначає кількість надскладених чисел менших або рівних $x$ .

Першу частину нерівності довів Пал Ердеш 1944 року; другу довів Шаблон:Нп 1988 року.

$1,13862<\mathrm{lim\; inf}\frac{\log Q(x)}{\log \log x}\le 1,44$

і

$\mathrm{lim\; sup}\frac{\log Q(x)}{\log \log x}\le 1,71.$

Властивості

• Всі надскладені числа, більші від 6, є надлишковими.
• Не всі надскладені числа є числами харшад за основою 10;
  • перший контрприклад це Шаблон:Unité: це число має суму цифр 27, але на 27 не ділиться.

Див. також

• Шаблон:Нп
• Таблиця дільників
• Функція Ейлера

Джерела

• Шаблон:Статья (online)
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.

Посилання

• Алгоритм обчислення надзвичайно складених чисел
• Перші 10000 надзвичайно складених чисел в якості факторів
• Flammenkamp Ахім, перший 779674 ГКН з Сигма, Тау, фактори
• Онлайн Сильно Складові Числа Калькулятор

Література

• Шаблон:Книга-ру