Мішаний добуток

Шаблон:UniboxМішаний добуток $(𝐚,𝐛,𝐜)$ векторів $𝐚,𝐛,𝐜$ — скалярний добуток вектора $𝐚$ на векторний добуток векторів $𝐛$ і $𝐜$:

$(𝐚,𝐛,𝐜)=𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)$.

Інколи його називають потрійним скалярним добутком векторів, вочевидь через те, що результатом є скаляр (точніше — псевдоскаляр).

Властивості

• Змішаний добуток кососиметричний по відношенню до всіх своїх аргументів:

$(𝐚,𝐛,𝐜)=(𝐛,𝐜,𝐚)=(𝐜,𝐚,𝐛)=-(𝐛,𝐚,𝐜)=-(𝐜,𝐛,𝐚)=-(𝐚,𝐜,𝐛);$

т. тобто перестановка будь-яких двох співмножників міняє знак добутку. Звідси випливає, що

$⟨𝐚,[𝐛,𝐜]⟩=⟨[𝐚,𝐛],𝐜⟩$

• Змішаний добуток $(𝐚,𝐛,𝐜)$ в правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів $𝐚,𝐛$ та $𝐜$:

$(𝐚,𝐛,𝐜)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|.$

• Змішаний добуток$(𝐚,𝐛,𝐜)$ в лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів $𝐚,𝐛$ та $𝐜$, взятому зі знаком «мінус»:

$(𝐚,𝐛,𝐜)=-\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|.$

зокрема,

• Якщо якісь два вектори колінеарні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють мішаний добуток, що дорівнює нулю.
• Якщо три вектори лінійно залежні (т. тобто компланарні, лежать в одній площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.
• Геометричний сенс — мішаний добуток $(𝐚,𝐛,𝐜)$ за абсолютним значенням дорівнює об'єму паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами $𝐚,𝐛$ та $𝐜$; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів права або ліва.
• Квадрат змішаного добутку векторів дорівнює визначнику Грама, що визначається нимиШаблон:Rp.

Три вектора, що визначають паралелепіпед.

• Змішаний добуток зручно записується за допомогою символу (тензора) Леві-Чивіти:

$(𝐚,𝐛,𝐜)=\sum _{i,j,k}{\epsilon }_{ijk}{a}^i{b}^j{c}^k$

(в останній формулі в ортонормированном базисі всі індекси можна писати нижніми; в цьому випадку ця формула абсолютно прямо повторює формулу з визначником, правда, при цьому автоматично виходить множник (-1) для лівих базисів).

Тлумачення

Мішаний добуток не є принципово новим математичним поняттям, оскільки процедура його обчислення зводиться до послідовного знаходження скалярного та векторного добутків. Попри це, вивчення мішаного добутку як окремого математичного об'єкта є дуже доцільним, оскільки він часто зустрічається при розгляді різноманітних задач і має низку властивостей, що спрощують їх розв'язання.

Потрійний векторний добуток

Потрійний векторний добуток — векторним добутком одного вектора із векторним добутком двох інших. Має місце така формула:

$𝐚\times (𝐛\times 𝐜)\equiv 𝐛(𝐚\cdot 𝐜)-𝐜(𝐚\cdot 𝐛)$.