Мрія першокурсника

Ілюстрація мрії першокурсника у двох вимірах. Кожен бік квадрата завдовжки X+Y. Площа квадрата це сума площ жовтої області (=X²), зеленої області (=Y²) і білих областей (=2×X×Y).

Мрією першокурсника (Шаблон:Lang-en) часто називають помилку $(x+y{)}^n=x^n+y^n$, де $n$ є дійсним числом (зазвичай додатним цілим, більшим за $1$). Таку помилку можна зустріти в школі і у студентів початківців коли вони підносять до степеня суму дійсних чисел. Коли $n=2$, легко побачити чому це не так: $(x+y{)}^2$ можна обчислити як $x^2+2xy+y^2$ використовуючи дистрибутивність. Для більших додатних цілих значень $n$, правильний результат задається біномом Ньютона.

Також «мрією першокурсника» іноді називають теорему, яка стверджує, що для простого числа $p$, якщо $x$ і $y$ це члени комутативне кільце характеристики $p$, тоді $(x+y{)}^p=x^p+y^p$. У цьому випадку, «помилка» насправді дає коректний результат, оскільки $p$ ділить всі біноміальні коефіцієнти окрім першого і останнього.

Приклади

• $(1+4{)}^2=5^2=25$, але $1^2+4^2=17$.
• $\sqrt{x^2+y^2}$ зазвичай не дорівнює $\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=|x|+|y|$. Наприклад, $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, що не дорівнює $3+4=7$. У цьому прикладі, помилка сталась із показником $n=1/2$.

Проста характеристика

$(x+y{)}^p\equiv x^p+y^p(\mathrm{mod}p)$, $x,y\in \mathbb{Z}$, $p$ — просте

Використаємо біном Ньютона:

$(x+y{)}^p=x^p+y^p+\underset{\equiv 0(\mathrm{mod}p)}{\underbrace{\sum _{k=1}^{p-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})x^k{y}^{p-k}}}$

З іншого боку, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})$ ділиться на $p$ для $1\le k\le p-1$, отже

$(x+y{)}^p=x^p+y^p$.

$◻$

Таким чином, з характеристикою $p$ мрія першокурсника стає чинною тотожністю. Цей результат демонструє, що піднесення до степеня $p$ породжує ендоморфізм, відомий як ендоморфізм Фробеніуса кільця.

Див. також

• Тест простоти