Моноїд

Кубічна ґратка алгебричних структур
від магми до групи.

Моноїд — це алгебрична структура з бінарною операцією, що є асоціативною та має нейтральний елемент. Стисліше, моноїд — це напівгрупа з нейтральним елементом.

Якщо для всіх елементів моноїда існує обернений елемент тоді це група.

Визначення

Моноїд — це множина $S$, разом із двомісною операцією “$\cdot$”, яка задовольняє трьом наступним аксіомам:

Замкнутість

Для всіх $a,b\in S$, результат операції $a\cdot b$ також в $S$.

Асоціативність

Для всіх $a,b,c\in S$, виконується рівність $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Нейтральний елемент (одиниця)

Існує елемент $e\in S$ такий, що для всіх елементів $a\in S$, вірна рівність $a\cdot e=e\cdot a=a$.

І в математичному записі ми можемо записати це так

• Замкнутість: $\mathrm{\forall }a,b\in S:a\cdot b\in S$,
• Асоціативність: $\mathrm{\forall }a,b,c\in S:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$,
• Нейтральний елемент: $\mathrm{\exists }e\in S$ такий, що $\mathrm{\forall }a\in S:e\cdot a=a\cdot e=a$.

Символ двомісної операції часто опускається; наприклад, аксіоми моноїда вимагають $(ab)c=a(bc)$ і $ea=ae=a$. Двомісна операція традиційно називається множенням, але може реалізовуватися будь-якою.

Моноїдні структури

Підмоноїди

Підмоноїдом моноїда $(M,\cdot )$ є підмножина N із М, замкнута відносно моноїдної операції і така, що містить нейтральний елемент e із M. В символьному записі, N є підмоноїдом М, якщо $N\subseteq M$, $x\cdot y\in N$ якщо $x,y\in N$, і $M\ni e\in N$. В цьому випадку N є моноїдом за двомісною операцією, успадкованою від М.

З іншого боку, якщо N є підмножиною моноїду, замкнутою щодо моноїдної операції, та є моноїдом щодо цієї успадкованої операції, то N не завжди буде підмоноїдом, оскільки нейтральний елемент може бути іншим. Наприклад, синглетон {0} замкнутий щодо алгебраїчного множення, але він не є підмоноїдом (мультиплікативного) моноїду невід’ємних цілих чисел: тут нейтральним елементом буде 1.

Генератори

Підмножина S із М породжує М, якщо найменший підмоноїд М, що містить S, є самим М. Якщо моноїд М може бути породженим скінченною множиною, він називається скінченно породженим моноїдом.

Комутативний моноїд

Моноїд, операція якого комутативна, називається комутативним (або, рідше, за аналогією з групами, абелевим). Операцію комутативного моноїда часто позначають як додавання. Будь-який комутативний моноїд наділений алгебраїчним передпорядком $\le$, визначеним так, що $x\le y$, якщо існує z такий, що $x+z=y$. Порядковою одиницею комутативного моноїда М є такий елемент u із М, що для будь-якого елемента х із М у множині, породженій u, існує елемент v такий, що $x\le v$. Це часто має місце, коли М є додатним конусом частково впорядкованої абелевої групи G, в цьому випадку u називають порядковою одиницею G.

Частково комутативний моноїд

Моноїд, операція якого є комутативною лише для деяких, але не для всіх елементів, називають слідовим моноїдом. Слідові моноїди часто зустрічаються в теорії паралельних обчислень.

Приклади

• З 16 можливих двомісних булевих операцій чотири, які мають двобічну ідентичність, є комутативними та асоціативними. Таким чином, будь-яка з них перетворює множину {False, True} на комутативний моноїд. Відповідно до стандартних визначень, AND та XNOR мають одиницею True, а XOR та OR мають одиницею False. Моноїди з AND чи OR також ідемпотентні, тоді як моноїди із XOR та XNOR — ні.
• Множина натуральних чисел $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ є комутативним моноїдом щодо операції алгебраїчного додавання (нейтральний елемент 0) або щодо операції алгебраїчного множення (нейтральний елемент 1). Підмоноїд Шаблон:Math щодо додавання називають числовим моноїдом.
• Множина цілих додатних чисел є комутативним моноїдом щодо алгебраїчного множення (нейтральний елемент 1).
• Якщо задано множину A, множина підмножин A є комутативним моноїдом щодо операції перетину (нейтральним елементом є сама множина A).
• Якщо задано множину A, множина підмножин A є комутативним моноїдом щодо операції об'єднання (нейтральним елементом є порожня множина).

Див. також

• Ґратка з діленням