Момент (математика)

Моме́нт випадкової величини́ — числова характеристика розподілу даної випадкової величини.

Означення

Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини $\xi$, яка приймає значення $x_i$ з ймовірністю $p_i$, де $i=1,2,3...$, називається число $M{\xi }^n=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i^k{p}_i$, якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто $M|{\xi }^n|=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i^k|p_i<\mathrm{\infty }$.

Величина $M|{\xi }^n|$ називається абсолютним моментом випадкової величини $\xi$.

Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини $\xi$ з густиною $p(x)$, називається число $M{\xi }^n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k}p(x)dx$, якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто $M|{\xi }^n|=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x^k|p(x)dx<\mathrm{\infty }$.

Якщо дана випадкова величина $X,$ визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини $X$ називається величина

${\mu }_k=𝔼[(X-𝔼X{)}^k],$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Початковим моментом k-го порядку називається величина:

${\nu }_k=𝔼\left[X^k\right],$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

$k$-им факторіальним моментом випадкової величини $X$ називається величина

${\mu }_k=𝔼[X(X-1)...(X-k+1)],$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Зауваження

Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:

${\mu }_1=0,$

${\mu }_2={\nu }_2-{\nu }_1^2,$

${\mu }_3={\nu }_3-3{\nu }_1{\nu }_2+2{\nu }_1^3,$

${\mu }_4={\nu }_4-4{\nu }_1{\nu }_3+6{\nu }_1^2{\nu }_2-3{\nu }_1^4,$

${\mu }_k=\sum _{s=0}^k(-1{)}^s{C}_k^s{v}_{k-s}{v}_1^s$

Якщо визначені моменти $k$-го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків $1⩽k^{\prime }<k.$.

Геометрична інтерпретація деяких моментів

• ${\nu }_1$ дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
• ${\mu }_2$ дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини $({\mu }_2={\sigma }^2)$ і показує розсіяння (розкид) довкола середнього значення.
• ${\mu }_3$, будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз

${\gamma }_1=\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}$

називається коефіцієнтом асиметрії.

• ${\mu }_4$ контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина

${\gamma }_2=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}-3$

називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в. $X.$

Обчислення моментів

• Моменти можна обчислити безпосередньо шляхом інтегрування відповідної функції випадкової величини. Зокрема, для абсолютно неперервного розподілу із щільністю$f(x),$ маємо:

${\nu }_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k}f(x)dx,$

якщо

${\nu }_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x{|}^{k}f(x)dx<+\mathrm{\infty }$,

а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей $p(x)$:

${\nu }_k=\sum _x{x}^{k}p(x),$

якщо ${\nu }_k=\sum _x|x{|}^{k}p(x)<+\mathrm{\infty }.$

• Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію $\phi (t)$:

${\nu }_k={-i^k\frac{d^k}{d{t}^k}\phi (t)|}_{t=0}.$

• Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів, $M_X(t),$, то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:

${\nu }_k={\frac{d^k}{d{t}^k}{M}_X(t)|}_{t=0}.$

Можна також розглядати моменти в.в. для значень $k$, що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу $k$, називається перетворення Мелліна.

Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.

Див. також

• Математичне сподівання
• Дисперсія випадкової величини

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Сеньо