Многовид Ілса — Кейпера

Многовидом Ілса — Кейпера називається компактифікація евклідового простору ${ℝ}^n$ сферою $S^{\frac{n}{2}}$, де n = 2, 4, 8, та 16.

• n = 2: многовид Ілса — Кейпера дифеоморфний дійсній проективній площині $ℝP^2$.

Для $n\ge 4$ він є однозв'язним і має когомологічну структуру

• $n=4$: комплексної проективної площини ${ℂ\mathbb{P}}^2$,
• $n=8$: кватерніонної проективної площини $ℍP^2$,
• n = 16: проективної площини Келі $𝕆P^2$.

Многовиди Ілса — Кейпера грають важливу роль у теорії Морса і в теорії шарувань.

Властивості

• Теорема Ілса — Кейпера. Нехай $M$ зв'язний замкнутий многовид розмірності $n$ (не обов'язково орієнтовний). Припустимо, на $M$ існує функція Морса $f:M\to R$ класа гладкості $C^3$, що має рівно три критичні точки. Тоді $n=$2, 4, 8 або 16 і $M$ є многовидом Ілса — Кейпера.

• Теорема: Нехай $M^n$ компактний зв'язний многовид, на якому задано морсовське шарування $F$. Припустимо, що число $c$ центрів шарування $F$ більше числа сідлових точок $s$. Тоді існує рівно дві можливості:
  • $c=s+2$, у цьому випадку $M^n$ гомеоморфно сфері $S^n$,
  • $c=s+1$, у цьому випадку $M^n$ є многовидом Ілса — Кейпера, причому $n=2,4,8$ і $16$.

Див. також

• Теорема Ріба про сферу
• Теорія Морса