Многовид

Шаблон:UniboxМногови́д — це об'єкт, який локально має характер евклідового простору розмірності n.

Означення

Многовидом над алгебрично замкненим полем $k$ є відділювана схема скінченного типу над $k$. Морфізмом многовидів називається їх морфізм як схем над полем $k$. Многовид $X$, який є афінною схемою, називається афінним многовидом. Будь-який многовид $X$ має скінченне покриття $X=\bigcup U_i,$ де $U_i$ — афінні многовиди. З цього слідує, що $X$ має скінченну розмірність.

Якщо $X$ незвідний, то усі $U_i$ щільні у $X$ та $\dim X=\dim U_i.$ Вони є біраціонально ізоморфними, оскільки $U_i\cap U_j$ відкритий й щільний як у $U_i,$ та й у $U_j.$ Тому поля раціональних функцій $k(U_i)$ є ізоморфними між собою. Ці поля можна ототожнити. Отримане поле називається полем раціональних функцій на $X$ й позначається $k(X).$ Розмірність многовида $X$ дорівнює степеню трансцендентності поля $k(X).$

Топологія на $X$, яка задається структурою схеми, називається спектральною. Для многовида $X$, визначеного над полем комплексних чисел $ℂ,$ через $X(ℂ)$ позначається множина його замкнених точок. Розгляньмо відкриту у спектральній топології множину $U\subset X,$ скінченне число функцій $f_1,...,f_m,$ регулярних на $U,$ та число $\epsilon >0.$ Через $V(f_1,...,f_m)$ позначмо множину тих точок $x\in U(ℂ),$ для яких

$|f_i(x)|<\epsilon ,i=\overline{1,m}.$

Множина $X(ℂ)$ перетворюється на топологічний простір, узявши базис відкритих множин множини $V(U;f_1,...,f_m;\epsilon ).$ Визначена таким чином буде називатися комплексною.

Якщо $Y\subset X$ — замкнена у спектральній топології підмножина, то $Y(ℂ)\subset X(ℂ).$ Таким чином, $Y(ℂ)$ є замкненою у $X(ℂ)$ у комплексній топології, комплексна топологія множини $Y(ℂ)$ збігається із її топологію як підпростори у $X(ℂ).$ Однак не усяка замкнена у комплексній топології множина має вид $Y(ℂ)$, де $Y$ замкнена у $X$ в спектральній топології. Прикладом є множина точок $x\in {𝔸}^1(ℂ),$ для яких $|t(x)|\le 1,$ де $t$ — координата на ${𝔸}^1.$ Морфізм $f:X\to Y$ алгебричних многовидів визначає неперервне відображення $f:(ℂ)\to Y(ℂ).$

Многовид (алгебричний) представляється сукупністю точок, яка виражається системою многочленних рівнянь:

$M=\{P\in k^n|f_i(P)=0\}\subset k^n,$

де $k$ — поле, $f_i\in k[X_1,...,X_n]$ — многочлени. Вивчення алгебричних рівнянь — стародавня математична наука. Нині мода й зручність диктують звернення до кілець.

Властивості

Многовид має цілочислову розмірність, яка вказує скількома параметрами (координатами) можна описати окіл довільної точки многовида. Ідея многовида полягає в тому, що геометрія гладкої поверхні «у малому», тобто в околу кожної її точки, нагадує геометрію Евклідового простору. Формально: n-вимірний многовид — це Гаусдорфів топологічний простір у якому будь-яка точка x має окіл гомеоморфний відкритій n-вимірній кулі:

$f_x:U\to B_n(0,r)=\{x\in {𝐑}^n:||x||<r\},x\in U.$

Завдання топологічних відображеннь f_x, які називаються картами (на зразок карт земної поверхні), є частиною структури многовида, а сукупність усіх карт називається атласом. Якщо виконується додаткова вимога, що різні карти узгоджені між собою диференційовним чином, а саме, якщо відображення $f_x\circ (f_y{)}^{-1}$ між досить малими відкритими множинами n-вимірного Евклідового простору (визначені лише для деяких пар (x,y)) не тільки неперервні, а й гладкі, то маємо справу з гладким многовидом.

Приклади

• Одновимірний многовид — це крива, наприклад, пряма, коло, еліпс, гіпербола, або парабола. Ця лінія не може мати кінцевих точок або перетинати себе. Додатково, з диференційовності лінії випливає, що у кожній точці цілком означена дотична, яка неперервно залежить від точки.
• Двовимірний многовид — це поверхня, наприклад, сфера, циліндр, параболоїд, тор, тощо.

Многовиди вищих розмірностей узагальнюють лінії та поверхні, хоча звичайна уява тут уже не працює.

• Компактний зв'язаний многовид без межі називається замкнутим.
• n-вимірна сфера, або гіперсфера:

$S^n=\{x\in {𝐑}^{n+1}:||x||=1\}.$

Скінченний циліндр є многовидом з межами.

Додаткові структури на многовидах

Задання метричного тензора $g_{ij}$ дозволяє знаходити відстань між двома нескінченно близькими точками, а також інтегрувати (скалярне поле) по підмноговидах, наприклад вздовж кривих, що проходять всередині многовида, або за об'ємом самого многовида.

Інтегрувати векторні та тензорні поля так просто, як скаляр, не можна — через некомутативність паралельного переносу векторів (якщо тензор внутрішньої кривини ненульовий). Наприклад, ми не можемо точно обчислювати повну силу, що діє на протяжне тіло в загальній теорії відносності.

Якщо скаляр скрізь дорівнює одиниці, то ми можемо знаходити довжини кривих і $k$-мірні об'єми $k$-мірних підмноговидів ($k\le n$, де $n$ — розмірність многовида). Особливий інтерес становлять підмноговиди мінімального об'єму, зокрема найкоротша лінія, що сполучає дві точки многовида (геодезична лінія).

В околі будь-якої точки многовида можна задати майже декартові координати такі, що початок координат буде в цій точці, метричний тензор буде одиничним, і всі перші похідні метричного тензора (або, що еквівалентно, всі символи Крістофеля) дорівнюють нулю. Другі ж похідні можна зробити нульовими далеко не завжди, для цього необхідно (і достатньо), щоб тензор Рімана дорівнював нулю. Якщо тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида, то в цій області можна побудувати декартові координати (з метричним тензором що дорівнює одиничній матриці $g_{ij}={\delta }_{ij}$), отже внутрішня геометрія такого многовида збігається з геометрією евклідового простору (хоча при погляді зверху цей многовид може бути, наприклад, циліндром).

Розгляд кривини многовида виявляється набагато простішим для гіперповерхонь, коли многовид вкладений в евклідовий простір на одиницю більшої розмірності. Практично важливим випадком гіперповерхні є двовимірні многовиди в тривимірному просторі.

Див. також

• Ріманів многовид
• Замкнутий многовид
• Диференційовний многовид
• Орбівид
• Алгебрична поверхня
• Раціональна поверхня

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.