Максимальний ідеал

Максимальним ідеалом кільця в абстрактній алгебрі називається всякий власний ідеал кільця, що не міститься в жодному іншому власному ідеалі.

Властивості

• Характеристична властивість максимального ідеалу: ідеал $I$ кільця $R$ максимальний, тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце $R/I$ є простим кільцем.

Дійсно, якщо кільце $R/I$ має власний ідеал $M$, то $I+M$ буде власним ідеалом кільця $R$, що суперечить максимальності ідеалу $I$.

Далі всі кільця вважаються кільцями з одиницею

• Теорема Круля: Множина всіх ідеалів кільця індуктивно впорядкована відношенням включення, тому згідно з (лемою Цорна) у довільному кільці з одиницею існують максимальні ідеали, окрім того, для будь-якого власного ідеалу $I$ кільця $R$ існує максимальний ідеал кільця $R$, який його містить.

• Якщо елемент $a$ кільця $R$ не оборотний, тоді всі елементи кільця, кратні йому, утворюють власний ідеал. Тому кожен необоротний елемент кільця міститься в деякому максимальному ідеалі. Якщо елемент $a$ оборотний, всякий ідеал, який його містить, збігається з кільцем, тому оборотні елементи не містяться в жодному власному ідеалі, і відповідно в жодному максимальному.

• Якщо всі необоротні елементи кільця $R$ утворюють ідеал, він є максимальним, і притому єдиним — інших максимальних ідеалів в кільці $R$ немає. (Вірним є і обернене твердження: якщо в кільці $R$ існує єдиний максимальний ідеал , він включає всі необоротні елементи кільця.) В цьому випадку кільце $R$ називається локальним.

• Для комутативного кільця ідеал $I$ є максимальним тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце по цьому ідеалу є полем.

• Якщо кільце $R$ має структуру банахової алгебри над полем комплексних чисел $ℂ$, фактор-кільце по максимальному ідеалу $R/I$ ізоморфне $ℂ$. В цьому випадку ідеал $I$ визначає гомоморфізм кільця $R$ в полі $ℂ$, ядром якого є ідеал $I$.
  Для кожного a існує єдина ${\lambda }_a$, таке що $a-{\lambda }_{a}e\in I$ (e - одиниця алгебри R). Відповідність $a\to {\lambda }_a$ і є той самий гомоморфізм.

• З характеристичної властивості випливає, що довільний максимальний ідеал є простим.

Для кілець без одиниці максимальні ідеали можуть не бути простими. Наприклад в кільці парних цілих чисел $2\mathbb{Z}$ ідеал $4\mathbb{Z}$ є максимальним, проте $2\cdot 2=4,$ хоч $2\notin 4\mathbb{Z}.$

Приклади

• У кільці цілих чисел $\mathbb{Z}$ максимальними ідеалами є всі прості ідеали: якщо p - просте число, тоді ідеал (p)=pZ максимальний. Наприклад, парні числа утворюють максимальний ідеал, а числа, кратні 4 - утворюють, але не максимальний - цей ідеал міститься в ідеалі парних чисел.
• У кільці многочленів k[X,Y], де k - алгебрично замкнуте поле, максимальні ідеали мають вигляд $I_{a,b}=\{f\in k[X,Y]:f(a,b)=0\},a,b\in k$.
• Кільце формальних степеневих рядів $k[[X]]$ над полем k — локальне кільце. Необоротними елементами в цьому кільці є ті ряди вільний член яких рівний нулю. Вони утворюють ідеал,що є єдиний максимальним ідеалом у цьому кільці.
• У кільці R = C[a, b] неперервних функцій із значеннями у множині дійсних чисел на відрізку множина функцій, що приймають значення 0 в деякій точці $x\in [a,b]$ є максимальним ідеалом. Усі максимальні ідеали кільця R мають такий вигляд.

Якщо позначити $I_x=\{f\in R|f(x)=0\}$ для деякої точки $x\in [a,b],$ то I_x є ідеалом і фактор-кільце $R/I_x$ є ізоморфним полю дійсних чисел, тож I_x є максимальним ідеалом.

Навпаки, якщо I є власним ідеалом кільця R = C[a, b], то множина $Z(I):=\bigcap _{f\in I}{f}^{-1}(\{0\})$ є непустою, тобто існує точка $x\in [a,b]$ для якої $f(x)=0$ для всіх $f\in I.$ Справді якщо Z(I) є пустою множиною, то $\{f^{-1}(ℝ\setminus \{0\}):f\in I\}$ є відкритим покриттям [a, b] і через компактність відрізка можна вибрати скінченне підпокриття, наприклад для функцій $f_i,1⩽i⩽n.$ Тоді функція $g(x)=\sum _{1=1}^{n}f(x{)}^2$ належить I і в усіх точках [a, b] має ненульові значення. Оскільки $1/g\in C([a,b]),$ то $1\in I$ і I = R. Це суперечить припущенню, що I є власним ідеалом. Тому існує $x\in [a,b]$ для якої $f(x)=0$ для всіх $f\in I.$ Тоді I є підідеалом ідеалу $I_x=\{f\in R|f(x)=0\},$ який і є максимальним.

Кільця без максимальних ідеалів

Теорема Круля гарантує існування максимального ідеалу для кілець з одиницею. Проте в кільцях без одиниці максимальні ідеали можуть не існувати. Прикладом такого кільця може бути кільце рядів: :$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^{{\alpha }_n}$ де $a_n\in ℝ$ і $0<{\alpha }_1<{\alpha }_2<\cdots$ дійсні числа для яких $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\alpha }_n=\mathrm{\infty }$.

Для ненульового такого ряду можна вважати $a_n\ne 0.$ Для $f=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^{{\alpha }_n}\in R$ де $0<{\alpha }_1<{\alpha }_2<\cdots$ і $a_1\ne 0$ визначимо $\mathrm{deg}f={\alpha }_1$. Очевидно $\mathrm{deg}(f\cdot g)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$ і R є областю цілісності без одиниці.

Припустимо I максимальний ідеал кільця R. Нехай $S=ℝ+R$ і $g\in R\setminus I$. Визначимо $J=Sg$. Тоді J є ідеалом R. Оскільки $\mathrm{\forall }h\in J:\mathrm{deg}h\ge \mathrm{deg}g,$ то $J\ne R$.

Отже J є власним ідеалом в R. Також $I\ne J$ оскільки $g\in J\setminus I$. Нехай $f\in I$. Якщо f = 0, тоді очевидно $f\in J$. Розглянемо тепер $f\ne 0$. Припустимо $\mathrm{deg}g>\mathrm{deg}f$. Тоді $\frac{g}{f}\in R$ і звідси $g\in Rf\subseteq I$, що суперечить визначенню g. Тому $\mathrm{deg}g\le \mathrm{deg}f$ і звідси $\frac{f}{g}\in S$. Отже $f\in Sg=J$. Відповідно $I\subset J\subset R$, що суперечить максимальності ідеалу $I$. $◻$

Література

Українською

• Шаблон:Ref-uk Шаблон:Книга

Іншими мовами

• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Ленг.Алгебра