Логістичний розподіл

Логістичний розподіл — неперервний ймовірнісний розподіл. Логістичний розподіл за формою нагадує нормальний розподіл, проте має більший коефіцієнт ексцесу.

Визначення розподілу

Функція щільності розподілу

Функція щільності (pdf) логістичного розподілу визначається за формулою:

$f(x;\mu ,s)=\frac{e^{-(x-\mu )/s}}{s{(1+e^{-(x-\mu )/s})}^2}$

$=\frac{1}{4s}{\mathrm{sech}}^2\left(\frac{x-\mu }{2s}\right).$

Альтернативно визначивши підстановку ${\sigma }^2={\pi }^2{s}^2/3$ одержується функція щільності:

$g(x;\mu ,\sigma )=f(x;\mu ,\sigma \sqrt{3}/\pi )=\frac{\pi }{\sigma 4\sqrt{3}}{\mathrm{sech}}^2\left(\frac{\pi }{2\sqrt{3}}\frac{x-\mu }{\sigma }\right).$

Функція розподілу

Функцією розподілу логістичного розподілу є логістична функція:

$F(x;\mu ,s)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}$

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tanh \left(\frac{x-\mu }{2s}\right).$

Моменти розподілу

Математичне сподівання

$E[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x{e}^{-(x-\mu )/s}}{s{(1+e^{-(x-\mu )/s})}^2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{4s}{\mathrm{sech}}^2\left(\frac{x-\mu }{2s}\right)dx$

Підставимо: $u=\frac{(x-\mu )}{2s},du=\frac{1}{2s}dx$

$E[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2su+\mu }{2}{\mathrm{sech}}^2\left(u\right)du$

$E[X]=s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u{\mathrm{sech}}^2\left(u\right)du+\frac{\mu }{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{sech}}^2\left(u\right)du$

Справедлива рівність: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u{\mathrm{sech}}^2\left(u\right)du=0$

$E[X]=\frac{\mu }{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{sech}}^2\left(u\right)du=\frac{\mu }{2}2=\mu$

Моменти вищих порядків

Центральний момент n-го порядку може бути обчислений:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[(X-\mu {)}^n]& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{n}dF(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(F^{-1}(p)-\mu {)}^{n}dp\\ & =s^n\underset{0}{\overset{1}{\int }}[\ln (\frac{p}{1-p}){]}^{n}dp.\end{array}$

Інтеграл може бути виражений через числа Бернуллі:

$\mathrm{E}[(X-\mu {)}^n]=s^n{\pi }^n(2^n-2)\cdot |B_n|.$

Див. також

• Нормальний розподіл

Література

• N., Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8.
• Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. ed.). ISBN 0-471-58494-0.