Лемніската Бута

Лемніска́та Бу́та — плоска алгебрична крива четвертого порядку, частковий випадок кривої Персея. Названа на честь англо-ірландського математика Шаблон:Не перекладено.

(x^{2} + y^{2})^{2} - (2 m^{2} + c) x^{2} + (2 m^{2} - c) y^{2} = 0 .

Види

Форма кривої залежить від співвідношення між параметрами $m$ і $c$ . Якщо $c > 2 m^{2}$ , то рівняння лемніскати набуде вигляду

(x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2}

, де

a^{2} = 2 m^{2} + c

і

b^{2} = c - 2 m^{2} .

У цьому випадку лемніската Бута є подерою еліпса відносно його центра і називається еліптичною. Її рівняння у полярних координатах має вигляд

ρ^{2} = a^{2} \cos^{2} ϕ + b^{2} \sin^{2} ϕ .

Якщо $c < 2 m^{2}$ , то рівняння лемніскати набуде виду

(x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2} x^{2} - b^{2} y^{2}

, де

a^{2} = 2 m^{2} + c

і

b^{2} = 2 m^{2} - c .

У цьому випадку лемніската Бута є подерою гіперболи відносно її центра і називається гіперболічною. Її рівняння у полярних координатах має вигляд

ρ^{2} = a^{2} \cos^{2} ϕ - b^{2} \sin^{2} ϕ .

При $c = 2 m^{2}$ лемніската Бута вироджується у два кола $x^{2} + y^{2} \pm 2 m x = 0 .$
При $c = 0$ лемніската Бута вироджується у лемніскату Бернуллі.

Лемніската Бута — ортогональна проєкція на площину xOy лінії перетину поверхні параболоїда $x^{2} + y^{2} = c z$ з поверхнею конуса $a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} = c^{2} z^{2} .$
Лемніскату Бута можна отримати інверсією кривої другого порядку $a^{2} x^{2} \pm b^{2} y^{2} = k^{4}$ з центром у початку координат.

За допомогою рівняння лемніскати у полярних координатах можна визначити площу, яку вона обмежує. Для еліптичної лемніскати:

2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (a^{2} \cos^{2} ϕ + b^{2} \sin^{2} ϕ) d ϕ = \frac{π}{2} (a^{2} + b^{2}) .

Для гіперболічної лемніскати:

\int_{0}^{arctg \frac{a}{b}} (a^{2} \cos^{2} ϕ - b^{2} \sin^{2} ϕ) d ϕ = \frac{a^{2} - b^{2}}{2} arctg \frac{a}{b} + \frac{a b}{2} .