Крива Персея

Криві Персея як переріз тора площиною

Три кривих Персея:
$a=1,b=2,c=0$
$a=1,b=2,c=0,8$
$a=1,b=2,c=1$

Крива́ Персе́я (спіричний перетин, спірична лінія, від Шаблон:Lang-grc — торШаблон:Sfn) — лінія перетину поверхні тора площиною, паралельною до осі обертання тора; плоска алгебрична крива 4-го порядку. Залежно від відстані січної площини до осі тора, криві можуть мати форми «опуклих» та «увігнутих» овалів, «вісімок» та двох окремих овалівШаблон:Sfn.

Вперше цей підклас Шаблон:Не перекладено вивчався давньогрецьким геометром Персеєм близько 150 року до н. е., через приблизно 200 років після перших досліджень конічних перетинів МенехмомШаблон:Sfn. Повторно описані у XVII століттіШаблон:Sfn лемніската Бута («опуклий овал») і овал Кассіні («вісімка») — є частковими випадками кривої Персея.

Рівняння кривої у декартовій системі координат:

$(x^2+y^2{)}^2=a{x}^2+b{y}^2+c$.

Інша форма рівняння у декартових координатах:

$(r^2-a^2+c^2+x^2+y^2{)}^2=4r^2(x^2+c^2)$,

тут $a$ — радіус кола, обертанням якого уздовж кола з радіусом $r$ утворений тор. При $c=0$ крива складається з двох кіл радіуса $a$ з центрами $(\pm r,0)$; при $c=r+a$ крива вироджується у точку — початок координат, якщо ж $c>r+a$ — то крива складається з порожньої множини точокШаблон:Sfn.

Також можна визначити криву Персея як Шаблон:Не перекладено, симетричну відносно осей $x$ і $y$.

Рівняння у полярних координатах:

$(r^2-a^2+b^2+c^2{)}^2=4b^2(r^2{\cos }^2\theta +c^2)$,

або

$r^4=d{r}^2{\cos }^2\theta +e{r}^2{\sin }^2\theta +f$.

Джерела

• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:MacTutor Biography