Лема Шура

Лема Шура — твердження, що є одним з основних при побудові теорії представлень груп.

Формулювання леми

Представлення групи $G$ автоморфізмами деякого векторного простору $GL(V)$ $\sigma :G\to GL(V)$ називається незвідним, якщо не існує ніякого інваріантного щодо $\sigma$ підпростору за винятком нульового підпростору і самого $V$.

Лема Шура: Нехай $f$ — лінійне відображення векторних просторів $f:V_1\to V_2$ над деяким полем $K$ таке, що існують два незвідні представлення $\sigma :G\to GL(V_1)$ і $\tau :G\to GL(V_2)$, такі, що ${\tau }_{g}f=f{\sigma }_g$ для всіх $g$. тоді:

1. Відображення $f$ є або ізоморфізмом або нульовим відображенням.
2. Якщо $V_1=V_2$ є скінченновимірними над алгебраїчно замкнутим полем $K$ і $\sigma =\tau$, то $f$ є множенням на певний елемент поля $f:x\to \lambda x$.

Також лемою Шура називають твердження з теорії модулів, пов'язане з попереднім: Нехай $E$ і $F$ модулі над кільцем $R$, які є простими (тобто не мають підмодулів, відмінних від нульового і самого себе). Тоді будь-який гомоморфізм $f:E\to F$ є або нульовим, або ізоморфізмом на $F$. Зокрема якщо $E=F$ то довільний ненульовий ендоморфізм модуля $E$ є автоморфізмом і тому має обернений автоморфізм. Іншими словами кільце ${\mathrm{End}}_R(E)$ (кільце $R$-лінійних ендоморфізмів модуля $E$) є тілом.

Доведення

Доведемо спершу твердження для модулів, а потім на його основі і лему Шура для представлень груп.

Справді, так як $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f$ і $\mathrm{I}\mathrm{m}f$ є підмодулями, то якщо $f$ є ненульовим гомоморфізмом, маємо $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f=0$, а $\mathrm{I}\mathrm{m}f=F$, тобто $f$ — ізоморфізм на весь модуль $F$.

Тепер визначимо групове кільце $K[G]$. Елементами цього кільця будуть лінійні комбінації $k_1{g}_1+k_2{g}_2+...+k_n{g}_n$. Множення визначається $(k_1{g}_1)(k_2{g}_2)=(k_1{k}_2)(g_1{g}_2)$ і далі по лінійності. Ясно, що $K[G]$ кільце. На просторі $V_1$ визначимо множення елемента з $K[G]$ на елемент $x\in V_1$: $(k_1{g}_1+k_2{g}_2+...+k_n{g}_n)x=k_1{\sigma }_{g_1}x+k_2{\sigma }_{g_2}x+...+k_n{\sigma }_{g_n}x$. Тим самим ми перетворюємо $V_1$ в модуль над кільцем $K[G]$. Перевірка аксіом модуля тривіальна, тому що $\sigma$ є представленням. $V_2$ аналогічно, замінюючи $\sigma$ на $\tau$, буде модулем над $K[G]$, а рівність ${\tau }_{g}f=f{\sigma }_g$ те, що відображення $f$ є гомоморфізмом модулів. Так як $\sigma$ і $\tau$ є незвідними, а це означає простоту $V_1$ і $V_2$ як модулів над $K[G]$, то перша частина леми доведена.

Для доведення другої частини використовуємо відоме твердження лінійної алгебри про існування власного вектора $x\ne 0$ для скінченновимірного простору над алгебраїчно замкнутим полем, що відповідає власному значенню $\lambda$, $f(x)=\lambda x$. Для будь-якого елемента $g\in G$ маємо ${\sigma }_g(f-\lambda \mathrm{id})=(f-\lambda \mathrm{id}){\sigma }_g$, причому для власного вектора $(f-\lambda \mathrm{id})(x)=0,$ отже $f-\lambda \mathrm{id}$ по першій частині леми є нульовим гомоморфізмом, отже $f$ є множенням на деякий $\lambda$.

Див. також

• Представлення групи
• Теорема Джекобсона про щільність

Література

• Пилипів В. М. Теорія представлень груп та її застосування(навчальний посібник). -Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008.-156с.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8 .
• James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
• Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.