Теорема Джекобсона про щільність

В абстрактній алгебрі теорема Джекобсона про щільність є важливим результатом про властивості некомутативних кілець та модулів над ними. Теорема має застосування у теорії представлень груп та загальній теорії груп. Названа на честь американського математика Натана Джекобсона.

Необхідні означення

Нехай $R$ є кільцем з одиницею і $M$ — R-модуль. Такий модуль називається простим, коли у нього немає нетривіальних підмодулів, тобто єдиними його підмодулями є ${0}$ і $M$ . Модуль називається точним, якщо $r M = {0}$ виконується лише для $r = 0$ .

Позначимо ${E n d}_{R} (M)$ множину R-ендоморфізмів модуля $M$ . На $M$ можна ввести множення кільця $D = {E n d}_{R} (M)$ як

α \cdot m : = α (m)

де

α \in {E n d}_{R} (M), m \in M

і тоді $M$ буде ${E n d}_{R} (M)$ -модулем на якому можна розглядати ${E n d}_{R} (M)$ -лінійні відображення.

$R$ -лінійність ендоморфізмів $α \in {E n d}_{R} (M)$ означає, що

α (r m) = r α (m)

для всіх

r \in R, m \in M, α \in {E n d}_{R} (M)

.

Позначивши $ℓ_{r}$ відображення лівого множення елементів $M$ на елемент $r \in R$ , з попереднього рівняння одержуємо, що кожна $ℓ_{r}$ є ${E n d}_{R} (M)$ -лінійним відображенням. Загалом натомість $ℓ_{r}$ не є $R$ -лінійним якщо $R$ не є комутативним кільцем.

Теорема Джекобсона про щільність

Твердження теореми

Нехай $R$ є кільцем з одиницею (загалом некомутативним), $M$ — простий точний лівий $R$ -модуль і $φ$ є ${E n d}_{R} (M)$ -лінійним відображенням.

Тоді для кожної скінченної множини елементів $m_{1}, \dots, m_{n} \in M$ , що є лінійно незалежними над $D = {E n d}_{R} (M)$ існує такий елемент $r \in R$ , що $φ (m_{i}) = r m_{i}$ для всіх $i = 1, \dots, n$ .^[1]^[2]

Іншими словами для D-лінійно незалежних елементів $m_{1}, \dots, m_{n} \in M$ і довільних елементів $y_{1}, \dots, y_{n} \in M$ існує такий елемент $r \in R$ , що $y_{i} = r m_{i} .$

Доведення теореми

Нехай $X \subset M$ — скінченна підмножина і $I = {a n n}_{R} (X)$ — анулятор підмножини. Нехай елемент $m \in M$ , такий що $I m = 0$ . Тоді $m$ належить $D$ -лінійній оболонці множини $X .$

Справді якщо $X = \emptyset$ , то $I = R$ і $m = 0$ , тож $m$ належить лінійній оболонці порожньої множини. Нехай тепер $X \neq \emptyset$ і доведення можна здійснити індукцією по $| X |$ .

Нехай $x \in X$ і позначимо $Y = X - {x}$ . Нехай $J = {a n n}_{R} (Y)$ . Зауважимо що $I = J \cap {a n n}_{R} (x)$ . Якщо $J \subseteq {a n n}_{R} (x)$ , тоді $J = I$ і тому $J m = 0$ . Згідно припущення індукції у цьому випадку $m$ належить $D$ -лінійній оболонці множини $Y$ і відповідно і $D$ -лінійній оболонці множини $X$ . Тому надалі можна вважати що $J x \neq 0$ . Множина $J \subset R$ є лівим ідеалом і тому $J x$ є $R$ -підмодулем у $M$ . Оскільки $M$ є простим модулем, то $J x = M$ .

Тепер введемо відображення $α : M \to M$ . Оскільки $J x = M$ , то кожен елемент у $M$ рівний $j x$ для деякого $j \in J$ . Тоді візьмемо $α (j x) = j m$ . Дане означення є несуперечливим адже якщо $j x = k x$ для $j, k \in J$ , тоді $(j - k) x = 0$ і звідси $j - k \in J \cap {a n n}_{R} (x) = I$ . Тому згідно умови також $(j - k) m = 0$ .

Далі доведемо, що $α \in D$ . Це відображення є очевидно адитивним, і тому потрібно перевірити, що воно є $R$ -ендоморфізмом. Нехай $r \in R$ і $z \in M$ і запишемо $z = j x$ для деякого $j \in J$ . Оскільки $r j \in J$ , то $α (r z) = α (r j x) = r j m = r α (j x) = r α (z)$ . Тому $α \in {E n d}_{R} (M) = D$ . Для завершення цієї частини доведення достатньо показати, що $m - α (x)$ належить $D$ -лінійній оболонці множини $Y$ . Згідно припущення індукції, це твердження рівнозначне тому, що $J (m - α x) = 0$ . Нехай $j \in J$ , тоді $j (m - α x) = j m - j α x = j α x - α (j x) = 0$ , що й треба було довести.

Повертаючись тепер до загального результату, доведення будемо здійснювати індукцією по $| X |$ . Нехай, як і вище, $x \in X$ і позначимо $Y = X - {x}$ . Згідно припущення індукції існує такий елемент $s \in R$ , що $φ (y) = s y, \forall y \in Y$ . Позначимо $I = {a n n}_{R} (Y)$ . Для всіх $i \in I$ елемент $r = s + i$ задовольняє рівності $φ (y) = r y, \forall y \in Y$ . Тому для завершення доведення потрібно підібрати $i \in I$ так щоб також $φ (x) = r x$ .

Але оскільки $x$ є $D$ -лінійно незалежним від $Y$ то з попереднього $I x \neq 0$ . Як і в доведенні вище звідси $I x = M$ , тому можна вибрати $i \in I$ , такий що $i x = φ (x) - s x$ , що завершує теорему Джекобсона про щільність.

Коментарі

Зважаючи на простоту лівого $R$ -модуля $M$ кільце $D = {E n d}_{R} (M)$ згідно леми Шура є тілом. Для всіх $m \in M$ і $φ \in {E n d}_{D} (M)$ позначимо

B (m, φ) : = {ψ \in {E n d}_{D} (M) ∣ φ (m) = ψ (m)}

.

Множини $B (m, φ)$ утворюють підбазу топології ${E n d}_{D} (M)$ , яка називається скінченною топологією.

Зважаючи на точність модуля оператор $ℓ_{r} \in {E n d}_{D} (M)$ можна ідентифікувати з елементом $r \in R$ . Тоді можна записати $R \subset {E n d}_{D} (M)$ і як наслідок теореми Джекобсона підмножина $R \subset {E n d}_{D} (M)$ буде щільною у скінченній топології.^[3], що пояснює назву теорема про щільність.

Справді деяка підмножина у топологічному просторі є щільною тоді і тільки тоді коли перетин цієї множини і непустого перетину скінченної кількості множин із підбази теж є непустою підмножиною. Але $⋂_{i = 1}^{n} B (m_{i}, φ_{i})$ є підмножиною відображень $ψ \in {E n d}_{D} (M)$ для яких $φ_{i} (m_{i}) = ψ (m_{i})$ для всіх $i = 1, \dots, n$ . З теореми Джекобсона випливає існування $r \in R$ для якого виконуються ці рівності і тоді $r \in ⋂_{i = 1}^{n} B (m_{i}, φ_{i}) .$

Якщо $M$ є скінченновимірним векторним простором над $D$ і $m_{1}, \dots, m_{n} \in M$ є його базисом, тоді ${E n d}_{D} (M) ≅ M_{n} (D)$ і в базисі $m_{i}$ згідно теореми Джекобсона $R ≅ M_{n} (D)$ .

Примітивні кільця

Кільце $R$ з одиницею називається примітивним, якщо для нього існує точний, простий модуль.^[4] Згідно теореми Джекобсона про щільність, для примітивного кільця $R$ існує тіло $D$ і $D$ -модуль $M$ такий, що $R$ є щільною підмножиною у ${E n d}_{D} (M)$ . За такий модуль можна взяти точний простий модуль $M$ , який існує за означенням і тоді теж взяти $D = {E n d}_{R} (M)$ .

Ця властивість характеризує примітивні кільця, адже якщо $R \subset {E n d}_{D} (M)$ є щільним підкільцем для модуля $M$ над тілом $D$ , то $M$ є точним простим $R$ -модулем. Справді нульовий ендоморфізм є єдиним елементом ${E n d}_{D} (M)$ який переводить модуль $M$ в нуль і оскільки $R$ є підмножиною ${E n d}_{D} (M)$ то у цьому кільці може бути лише один елемент (а саме нульовий елемент) множення на який обнуляє модуль. Також оскільки $R$ є щільним підкільцем і для будь-яких $m, n \in M$ існує такий $φ \in {E n d}_{D} (M)$ , що $φ (m) = n$ то існує такий $r \in R$ , що $r m = n$ . Тобто завжди $R m = M$ і єдиними підмодулями модуля $M$ є ${0}$ і $M$ , тобто він є простим $R$ -модулем.

Ця характеристика примітивних кілець є фактично альтернативною формою твердження теореми Джекобсона.^[5].

Теорема Бернсайда

Прикладом застосування теореми Джекобсона є теорема Бернсайда.

Нехай $G$ — група і $ρ : G \to G L (ℂ^{n})$ незвідне n-вимірне представлення цієї групи у векторному просторі над полем комплексних чисел (або довільним іншим алгебрично замкнутим полем). Тоді існують такі елементи $g_{1}, \dots, g_{n^{2}} \in G$ , що $ρ (g_{1}), \dots, ρ (g_{n^{2}})$ є $ℂ$ -лінійно незалежними. Інакше кажучи лінійною оболонкою образів представлення є простір всіх ендоморфізмів векторного простору.

Введемо групову алгебру $ℂ [G]$ (тобто множину $ℂ$ -лінійних комбінацій з елементами групи $G$ з очевидними означеннями суми і добутку) і продовжимо відображення $ρ$ до гомоморфізму $ℂ$ -алгебр $\tilde{ρ} : ℂ [G] \to {E n d}_{ℂ} (ℂ^{n})$ . Позначимо $R = \tilde{ρ} (ℂ [G]) \subset {E n d}_{ℂ} (ℂ^{n})$ . Тоді згідно означень $ℂ^{n}$ є точним і простим $R$ -модулем. Тоді $D = {E n d}_{R} (M)$ є множиною лінійних операторів, що комутують з усіма елементами $R$ , а отже із усіма елементами $ρ (G)$ . Оскільки згідно умови представлення є незвідним, то згідно леми Шура $D$ є множиною скалярних відображень і може бути ідентифікованим з $ℂ$ .

Згідно теореми Джекобсона таким чином $R = {E n d}_{ℂ} (ℂ^{n})$ , тобто $R$ є алгеброю всіх ендоморфізмів лінійного простору. Оскільки $R$ є лінійною оболонкою образів представлення групи, то серед цих образів можна вибрати базис простору ${E n d}_{ℂ} (ℂ^{n})$ .^[6]

Примітки

Шаблон:Reflist

Див. також

Лема Шура

Література

↑ Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 8.1.7: The Jacobson Density Theorem
↑ I. Martin Isaacs: Algebra – A Graduate Course, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics (2009), Band 100, Theorem (13.14)
↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.1.6
↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.1.1.
↑ Benson Farb, R. Keith Dennis: Noncommutative Algebra, Springer-Verlag (1993), ISBN 978-0-387-94057-1, Theorem 5.2 (Jacobson Density Theorem)
↑ Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Теорема 8.1.8

[1] Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 8.1.7: The Jacobson Density Theorem

[2] I. Martin Isaacs: Algebra – A Graduate Course, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics (2009), Band 100, Theorem (13.14)

[3] Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.1.6

[4] Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.1.1.

[5] Benson Farb, R. Keith Dennis: Noncommutative Algebra, Springer-Verlag (1993), ISBN 978-0-387-94057-1, Theorem 5.2 (Jacobson Density Theorem)

[6] Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Теорема 8.1.8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Теорема Джекобсона про щільність

Зміст

Необхідні означення

Теорема Джекобсона про щільність

Твердження теореми

Доведення теореми

Коментарі

Примітивні кільця

Теорема Бернсайда

Примітки

Див. також

Література

Навігаційне меню

Теорема Джекобсона про щільність

Необхідні означення

Теорема Джекобсона про щільність

Твердження теореми

Доведення теореми

Коментарі

Примітивні кільця

Теорема Бернсайда

Примітки

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук