Лема Адамара

Лема Адамара (Шаблон:Lang-en) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика Жака Адамара.

Шаблон:Рамка Нехай $f:{ℝ}^n\to ℝ$ — функція класу $C^r$, де $r\ge 1$, визначена у випуклому околі $U$ точки $0$. Тоді існують такі функції $g_1,\dots ,g_n:{ℝ}^n\to ℝ$ класу $C^{r-1}$, визначені в $U$, що для всіх $x=(x_1,\dots ,x_n)\in U$ має місце рівність

$f(x_1,\dots ,x_n)=f(0)+\sum _{i=1}^n{x}_i{g}_i(x_1,\dots ,x_n),g_i(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0).$

Шаблон:/рамка Якщо функція $f$ — аналітична, то й функції $g_1,\dots ,g_n$ у наведеній вище формулі аналітичні.

Узагальнене формулювання

Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.

Шаблон:Рамка Нехай $f(x,y):{ℝ}^n\times {ℝ}^m\to ℝ$ — функція класу $C^r$, де $r\ge 1$, визначена на випуклому околі $U$ точки $0$, при цьому $x=(x_1,\dots ,x_n)$ і $y=(y_1,\dots ,y_m)$. Тоді існують такі функції $g_1(x,y),\dots ,g_n(x,y):{ℝ}^n\times {ℝ}^m\to ℝ$ класу $C^{r-1}$, визначені в $U$, що для всіх $(x,y)\in U$ має місце рівність

$f(x,y)=f(0,y)+\sum _{i=1}^n{x}_i{g}_i(x,y),g_i(0,y)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0,y).$

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію $f(tx,y)=f(t{x}_1,\dots ,t{x}_n,y_1,\dots ,y_m)$, де $t$ — додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай $t$ пробігає значення з відрізку $[0,1]$, тоді функція $f(tx,y)$, що розглядається як функція ${ℝ}^{n+m}\to ℝ$ при кожному фіксованому значенні параметра $t$, пробігає в просторі функцій від $n+m$ змінних деяку криву з кінцями $f(0,y)$ и $f(x,y)$.

Розглядаючи $f(tx,y)$ як функцію змінної $t$, залежну від параметрів $x\in R^n$ і $y\in R^m$, і застосувуючи формулу Ньютона—Лейбніца, можна записати:

$f(x,y)-f(0,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{df(tx,y)}{dt}dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)dt=\sum _{i=1}^n{x}_i{g}_i(x,y),$

де

$g_i(x,y):=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)dt.$

Необхідна гладкість функцій $g_i(x,y)$ випливає з відомої теореми про диференціювання інтеграла, що залежить від параметра.

Застосування

Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в теорії особливостей.

• За допомогою леми Адамара легко доводиться Лема Морса.

• Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо росток гладкої функції $f(x,y_1,\dots ,y_m)$ обертається в нуль на гіперплощині $x=0$, то його можна подати у вигляді $f=xg(x,y_1,\dots ,y_m),$ де $g$ — деяка гладка функція.

• Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції $f(x,y_1,\dots ,y_m)$ має місце подання $f=f_0(y_1,\dots ,y_m)+xg(x,y_1,\dots ,y_m),$ де $f_0=f(0,y_1,\dots ,y_m)$ і $g$ — гладкі функції.

• Застосовуючи індукцію, звідси неважко отримати також загальніше представлення:

$f=f_0(y_1,\dots ,y_m)+x{f}_1(y_1,\dots ,y_m)+\cdots +x^n{f}_n(y_1,\dots ,y_m)+x^{n+1}g(x,y_1,\dots ,y_m),$

де $f_i(y_1,\dots ,y_m)$ и $g$ — гладкі функції та $n$ — довільне натуральне число.

Див. також

• Формула Тейлора
• Лема Морса

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1