Залежний від параметра інтеграл

Інтеграл, залежний від параметра — математичний вираз, що містить визначений інтеграл і залежність від однієї або декількох змінних («параметрів»).

Залежний від параметра власний інтеграл

Нехай у двовимірному евклідовому просторі задана область $\bar{G}=\{(x,y)|a\le x\le b,c\le y\le d\}$, на якій визначена функція $f(x,y)$ двох змінних.

Нехай далі, $\mathrm{\forall }y\in [c;d]\mathrm{\exists }I\left(y\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx$.

Функція $I(y)$ і називається інтегралом, що залежить від параметра.

Властивості інтеграла, залежного від параметра

Неперервність

Нехай функція $f(x,y)$ неперервна в області $\bar{G}$ як функція. Тоді функція $I\left(y\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx$ неперервна на відрізку $[c;d]$.

Диференціювання під знаком інтеграла

Нехай тепер на області $\bar{G}$ неперервна не лише функція $f(x,y)$, але і її частинна похідна $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$.

Тоді $\frac{d}{dy}I(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx$, або, що те саме, $\frac{d}{dy}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx$

Інтегрування під знаком інтеграла

Якщо функція $f(x,y)$ неперервна в області $\bar{G}$, то

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}I(y)dy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx$, або, що те саме:

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx)dy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx$ Шаблон:Hider

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1