Кубічний сплайн

Кубічний сплайн — гладка функція, область визначення якої розбито на скінченне число відрізків, на кожному з яких вона збігається з деяким кубічним многочленом.

Опис

Функція $f(x)$ задано на відрізку $[a,b]$, розбитому на частини $[x_{i-1},x_i]$, $a=x_0<x_1<...<x_N=b$. Кубічним сплайном дефекту 1 (різниця між степенем і гладкістю сплайна) називається функція $S(x)$, яка:

• на кожному відрізку $[x_{i-1},x_i]$ є многочленом степеня не вище від трьох;
• має неперервні першу і другу похідні на всьому відрізку $[a,b]$;
• в точках $x_i$ виконується рівність $S(x_i)=f(x_i)$, тобто сплайн $S(x)$ інтерполює функцію $f$в точках $x_i$.

Для однозначного задання сплайна перелічених умов недостатньо, для побудови сплайна необхідно накласти додаткові вимоги — граничні умови:

1. «Природний сплайн» — граничні умови виду: $S^{″}(a)=S^{″}(b)=0$;
2. Неперервність другої похідної — граничні умови виду: $S^{‴}(a)=S^{‴}(b)=0$;
3. Періодичний сплайн — граничні умови виду: $S^{\prime }(a)=S^{\prime }(b)$і $S^{″}(a)=S^{″}(b)$.

Теорема. Для будь-якої функції $f$ і будь-якого розбиття відрізка $[a,b]$ на частини $[x_{i-1},x_i]$існує рівно один природний сплайн $S_i(x)$, що задовольняє переліченим вище умовам.

Ця теорема є наслідком загальнішої теореми Шенберга — Вітні про умови існування інтерполяційного сплайна.

Побудова

На кожному відрізку $[x_{i-1},x_i],i=\overline{1,N}$ функція $S(x)$ є многочленом третього степеня $S_i(x)$, коефіцієнти якого треба визначити. Запишемо для зручності $S_i(x)$ у вигляді:

$S_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i{)}^2+d_i(x-x_i{)}^3$

тоді

$S_i\left(x_i\right)=a_i,S{\text{'}}_i(x_i)=b_i,S^{\prime }{\text{'}}_i(x_i)=2c_i,S^{″}{\text{'}}_i\left(x_i\right)=6d_{i}i=\overline{1,N}.$

Умови неперервності всіх похідних до другого порядку включно записуються у вигляді

$S_i\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1}),$

$S{\text{'}}_i\left(x_{i-1}\right)=S{\text{'}}_{i-1}(x_{i-1}),$

$S^{\prime }{\text{'}}_i\left(x_{i-1}\right)=S^{\prime }{\text{'}}_{i-1}(x_{i-1}),$

де $i$ змінюється від $1$ до $N,$ а умови інтерполяції у вигляді

$S_i\left(x_i\right)=f(x_i).$

Позначимо$:h_i=x_i-x_{i-1}(i=\overline{1,N}),f_i=f(x_i)(i=\overline{0,N})$

Звідси отримуємо формули для обчислення коефіцієнтів «природного сплайна»:

$a_i=f(x_i)$;

$d_i=\frac{c_i-c_{i-1}}{3\cdot h_i}$;

$b_i=\frac{a_i-a_{i-1}}{h_i}+\frac{2\cdot c_i+c_{i-1}}{3}\cdot h_i$;

$c_{i-1}\cdot h_i+2\cdot c_i\cdot (h_i+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i+1}=3\cdot (\frac{a_{i+1}-a_i}{h_{i+1}}-\frac{a_i-a_{i-1}}{h_i})$,

причому $c_N=S^{″}(x_N)=0$ і $c_1-3\cdot d_1\cdot h_1=S^{″}(x_0)=0$.

Якщо врахувати, що $c_0=c_N=0$, то $c$ можна обчислити методом прогонки для тридіагональної матриці.

Література

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга
3. Шаблон:Книга
4. Шаблон:Книга

Посилання

• Інтерполяція кубічними сплайнами на JavaScript Шаблон:WebarchiveШаблон:Ref-ru
• Cubic Interpolation Шаблон:Webarchive Шаблон:Sfn