Конус відображення

У математиці , особливо теорії гомотопії , конус відображення $C_f$ є конструкцією визначеною для кожного неперервного відображення між топологічними просторами. Конус відображення можна розглядати як циліндр відображення $Mf$, один кінець якого стискується до точки. Конуси відображення часто застосовуються у теорії гомотопії просторів із виділеною точкою.

Означення

Нехай $f:X\to Y$ є неперервним відображенням між топологічними просторами. Конус відображення $C_f$ є фактор-простором циліндра відображення $(X\times I){\bigsqcup }_{f}Y$ згідно відношення еквівалентності $(x,0)\sim (x^{\prime },0)$, $(x,1)\sim f(x)$ на X. Тут $I$ позначає одиничний відрізок [0,1] із стандартною топологією.

Для відображення просторів із виділеною точкою $f:(X,x_0)\to (Y,y_0),$ (при якому $f:x_0\mapsto y_0$), також відбувається ідентифікація всіх точок виду $x_0\times I$; тобто, $(x_0,t)\sim (x_0,t^{\prime }).$

Подвійний циліндр відображення

Конус відображення є окремим випадком подвійного циліндра відображення. Цей простір є циліндром $X\times I$ один кінець якого приєднується до $Y_1$ через неперервне відображення

$f_1:X\to Y_1$

а інший кінець до простору $Y_2$ через неперервне відображення

$f_2:X\to Y_2$

Конус відображення є прикладом подвійного циліндра відображення для якого один із просторів $Y_1,Y_2$ є одноточковим.

Приклади

• Якщо $X$ є колом $S^1$, конус відображення $C_f$ можна розглядати як фактор-простір диз'юнктного об'єднання Y із кругом $D^2$ через ідентифікацію точок x на границі круга $D^2$ із точками $f(x)$ у Y.

• Нехай, наприклад, Y є кругом $D^2$ і $f:S^1\to Y=D^2$ є стандартним включенням $S^1$ як границі $D^2$. Тоді конус відображення $C_f$ є гомеоморфним двом кругам склеєним на по їх границях, тобто гомеоморфним сфері $S^2$.
• Якщо $f:\coprod _{i\in I}{S}_i^n\to X_n$ є відображенням склеювання у CW-комплексі $X$, де $X_n$ позначає $n$-скелет, то конус $Cf$ є гомеоморфним $(n+1)$-скелету $X_{n+1}$.
• Для топологічного простору X і петлі $\alpha :S^1\to X,$ що представляє елемент фундаментальної групи простору X, можна побудувати конус відображення $C_{\alpha }$. При цьому петлю $\alpha$ можна стягнути у $C_{\alpha }$ і тому клас еквівалентності $\alpha$ у фундаментальній групі простору $C_{\alpha }$ буде одиничним елементом. Для групи заданої породжуючими елементами і їх відношеннями таким чином можна одержати 2-комплекс із цією фундаментальною групою.
• Відображення $f:X\to Y$ між однозв'язними CW-комплексами є гомотопною еквівалентністю тоді і тільки тоді коли його конус відображення є стягуваним. Більш загально, відображення називається n-зв'язним якщо його конус відображення є n-зв'язним простором.

Властивості

• Простір $Y$ є підпростором $C_f$, оскільки відображення факторизації $CX\bigsqcup Y\to C_f$ на просторі $Y$ є ін'єктивним.

• Якщо $f$ є ін'єктивним і відносно відкритим, тобто гомеоморфізмом тоді конус $CX$ і відповідно $X$ є підпросторами $C_f$.
• Для тотожного відображення $id:X\to X;x\mapsto x$, конус і конус відображення є гомеоморфними: $C_{id}\cong CX$.

Всі вказані властивості є також справедливими для просторів із виділеними точками.

• Якщо $X;Y$ є просторами із виділеними точками і $f\equiv y_0$ є константою, то $C_f\cong \mathrm{\Sigma }X\vee Y$, де $\mathrm{\Sigma }X$ позначає редуковану надбудову простору $X$, а $\vee$ є букетом просторів.
• Редукований конус відображення є гомотопно еквівалентним звичайному конусу відображення.

• Нехай $H_{*}$ є гомологією. Відображення $f:X\to Y$ породжує ізоморфізми на $H_{*}$, якщо і тільки якщо відображення $\{pt\}\hookrightarrow C_f$ породжує ізоморфізми на $H_{*}$, тобто $H_{*}(C_f,pt)=0$.
• За допомогою конуса відображення можна інтерпретувати гомологію пари просторів, як редуковану гомологію фактор-простору. А саме, якщо H є гомологією і $i:A\to X$ є кофібрацією, то

  $H_{*}(X,A)=H_{*}(X/A,*)={\tilde{H}}_{*}(X/A)$.

• Якщо відображення $f,g:X\to Y$ є гомотопними, то конуси відображення $C_f$ і $C_g$ є гомотопно еквівалентними.
• Якщо $A\subseteq X$ є підпростором і $i:A\hookrightarrow X$ є кофібрацією, то $C_i$ є гомотопно еквівалентним фактор-простору $X/A$ і для просторів із виділеними точками всі гомотопії є із збереженням виділених точок.
• Вкладення $j:Y\hookrightarrow C_f$ завжди є кофібрацією. Конус цього відображення таким чином є гомотопно еквівалентним простору $C_f/Y\cong SX,$ де $SX$ позначає надбудову простору $X$. Для просторів із виділеними точками конус цього відображення є гомотопно еквівалентним редукованій надбудові $\mathrm{\Sigma }X.$
• Для просторів із виділеними точками відображення $f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$ і довільного простору із виділеною точкою $(Z,z_0)$ послідовність на класах гомотопії:

  $[C_f,Z]\stackrel{j^{*}}{\to }[Y,Z]\stackrel{f^{*}}{\to }[X,Z]$

є точною. У даному випадку це означає, що образ відображення $j^{*},$ що переводить клас гомотопії відображення $g$ із $C_f$ у $Z$ (із збереженням виділених точок) у клас гомотопії $g\circ j$ належить прообразу $f^{*},$ тобто $g\circ j\circ f$ є константою, що переводить увесь простір $X$ у виділену точку $z_0.$

• Із попередніх властивостей випливає, що відображення $f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$ породжує точну послідовність на класах гомотопії для довільного простору із виділеною точкою $(Z,z_0)$:

  $\dots \to [\mathrm{\Sigma }Y,Z]\to [\mathrm{\Sigma }X,Z]\to [C_f,Z]\to [Y,Z]\to [X,Z]$

Див. також

• Кофібрація
• Циліндр відображення