Коефіцієнт (математика)

Коефіцієнт — це мультиплікативний множник у математиці, який застосовується до певного члена полінома, ряду або будь-якого іншого типу виразу. Це може бути безрозмірна величина, і в цьому випадку вона називається числовим множником. Це також може бути константа з одиницями вимірювання, в цьому випадку вона називається постійним множником. Загалом, коефіцієнти можуть бути будь-якими виразами (включаючи такі змінні, як Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar). У випадку, коли комбінація змінних і констант не бере участь у добутку, її можуть називати параметром. Наприклад, поліном $2x^2-x+3$ має коефіцієнти 2, −1 і 3; також степені змінної $x$ в поліномі $a{x}^2+bx+c$ мають коефіцієнтні параметри $a$, $b$, і $c$.

Шаблон:Якір2, також відомий як постійний член або просто константа, — це величина, неявно приєднана до нульового степеня змінної або не приєднана до інших змінних у виразі; наприклад, постійними коефіцієнтами у наведених вище виразах є число 3 і параметр c, представлені виразами 3 = 3 ⋅ x⁰ та c = c ⋅ x⁰. Коефіцієнт, приєднаний до найвищого степеня змінної полінома однієї змінної, називається головним коефіцієнтом. Наприклад, у наведених вище прикладах головними коефіцієнтами є 2 і a відповідно.

Диференціальні рівняння часто можна записати в термінах поліномів однієї чи кількох невідомих функцій та їх похідних. У таких випадках коефіцієнти диференціального рівняння є коефіцієнтами цього полінома, і вони можуть бути непостійними функціями. Коефіцієнт є постійним коефіцієнтом, якщо він є сталою функцією. Щоб уникнути плутанини, у цьому контексті коефіцієнт, який не пов'язаний з невідомими функціями або їх похідними, зазвичай називають постійним членом, а не постійним коефіцієнтом. Зокрема, у лінійному диференціальному рівнянні з постійним коефіцієнтом постійний член, як правило, не вважається постійною функцією.

Термінологія та визначення

Коефіцієнт — це мультиплікативний множник у математиці, який застосовується до певного члена полінома, ряду або будь-якого іншого типу виразу. Наприклад, у поліномі $$7x^2-3xy+1,5+y,$$зі змінними $x$ і $y$, перші два доданки мають коефіцієнти Шаблон:Math і Шаблон:Math. Третій доданок Шаблон:Math є постійним коефіцієнтом. В останньому доданку виразу коефіцієнт дорівнює Шаблон:Math і не вказується явно.

У багатьох випадках коефіцієнти є числами (як у попередньому прикладі), хоча вони можуть бути параметрами проблеми або будь-яким виразом у цих параметрах. У цьому випадку необхідно чітко розрізняти символи, що представляють змінні, і символи, що представляють параметри. Після популяризації Рене Декартом, змінні часто (але не завжди) позначають Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar ,…, а параметри Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, …. Наприклад, якщо Шаблон:Mvar вважати параметром у наведеному вище виразі, тоді коефіцієнт при Шаблон:Mvar буде Шаблон:Math, а постійний коефіцієнт (по відношенню до Шаблон:Mvar) буде Шаблон:Math.

Коли пишуть $$a{x}^2+bx+c,$$зазвичай мають на увазі, що Шаблон:Mvar є єдиною змінною, а Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є параметрами; тобто постійний коефіцієнт у цьому випадку дорівнює Шаблон:Mvar.

Будь-який поліном однієї змінної Шаблон:Mvar можна записати як $$a_k{x}^k+\cdots +a_1{x}^1+a_0$$для деякого цілого невід'ємного числа $k$, де $a_k,\dots ,a_1,a_0$ є коефіцієнтами. Сюди входить можливість того, що деякі вирази мають коефіцієнт 0; наприклад, в виразі $x^3-2x+1$, коефіцієнт $x^2$ дорівнює 0, а вираз $0x^2$ не відображається явно. Для найбільшого $i$, такого, що $a_i\ne 0$ (якщо таке $i$ існує), $a_i$ називається старшим коефіцієнтом полінома. Наприклад, старшим коефіцієнт полінома $$4x^5+x^3+2x^2$$є 4. Це можна узагальнити на поліноми багатьох змінних з урахуванням Шаблон:Не перекладено, див. Шаблон:Не перекладено.

Лінійна алгебра

У лінійній алгебрі система лінійних рівнянь часто представляється її Шаблон:Не перекладено. Наприклад, системі рівнянь $$\{\begin{array}{c}2x+3y=0\\ 5x-4y=0\end{array},$$відповідає матриця коефіцієнтів $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& -4\end{array}\right).$ Матриці коефіцієнтів використовуються в таких алгоритмах, як метод Гаусса та метод Крамера, для пошуку розв'язку системи.

Провідний запис (який іноді називають провідним коефіцієнтомШаблон:Cn) рядка в матриці є першим ненульовим записом у цьому рядку. Так, наприклад, в матриці $$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 6\\ 0& 2& 9& 4\\ 0& 0& 0& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$провідний коефіцієнт першого ряду дорівнює 1; другого ряду — 2; у третього ряду — 4, тоді як останній ряд не має провідного коефіцієнта.

Хоча коефіцієнти часто розглядаються як константи в елементарній алгебрі, вони також можуть розглядатися як змінні, коли контекст розширюється. Наприклад, координати $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ вектора $v$ у векторному просторі з базисом $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ є коефіцієнтами базисних векторів у виразі $$v=x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots +x_n{e}_n.$$

Див. також

• Коефіцієнт кореляції
• Степінь многочлена
• Нормований многочлен
• Біноміальний коефіцієнт

Подальше читання

• Sabah Al-hadad and C.H. Scott (1979) College Algebra with Applications, page 42, Winthrop Publishers, Cambridge Massachusetts Шаблон:ISBN.
• Gordon Fuller, Walter L Wilson, Henry C Miller, (1982) College Algebra, 5th edition, page 24, Brooks/Cole Publishing, Monterey California Шаблон:ISBN.