Когомологія де Рама

Когомології де Рама — теорія когомологій, визначених за допомогою диференціальних форм на гладких многовидах. Завдяки відносній простоті обчислень широко застосовуються в алгебраїчній і диференціальній топології, а також диференціальній геометрії і математичному аналізі. Попри те, що вони визначаються за допомогою диференціальних структур на многовиді, згідно теореми де Рама когомології де Рама ізоморфні сингулярним когомологіям, які визначаються лише з урахуванням топологічної структури.

Визначення

Допоміжні визначення і позначення

Нехай M — гладкий многовид розмірності n. Позначимо ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$ — простір гладких диференціальних форм степеня k на многовиді M. В локальних координатах диференціальна форма $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(M)$ записується у вигляді

$\omega =\sum _{1⩽i_1<i_2<\dots <i_k⩽n}{f}_{i_1{i}_2\dots i_k}(x_1,\dots ,x_n)d{x}_{i_1}\wedge d{x}_{i_2}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_k}$

де $f_{i_1{i}_2\dots i_k}$ — гладкі функції $d{x}_i$ — диференціал $i$-ї координати $x_i$, а $\wedge$ — зовнішній добуток.

Для k > n всі диференціальні форми рівні нулю. Для $0⩽k⩽n$ множина диференціальних форм є векторним простором розмірності $C_n^k.$

Для всіх $0⩽k⩽n$ природно визначається оператор $d:{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)$, що називається зовнішньою похідною і в локальних координатах для $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(M)$ можна записати за допомогою формули:

$d\omega =\sum _{1⩽i_1<i_2<\dots <i_k⩽n}\sum _{1⩽j⩽n}\frac{\partial f_{i_1{i}_2\dots i_k}}{\partial x^j}(x_1,\dots ,x_n)d{x}_j\wedge d{x}_{i_1}\wedge d{x}_{i_2}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_k}.$

З запису в локальних координатах одразу отримується рівність $d(d\omega )=0$ для всіх диференціальних форм або $d\circ d=0.$

Комплекси і когомології де Рама

З використанням введених вище позначень можна розглянути комплекс де Рама — коланцюговий комплекс визначений як:

$0\to {\mathrm{\Omega }}^0(M)\stackrel{d}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1(M)\stackrel{d}{\to }{\mathrm{\Omega }}^2(M)\stackrel{d}{\to }{\mathrm{\Omega }}^3(M)\to \cdots .$

З того, що $d\circ d=0$ випливає що $\mathrm{I}\mathrm{m}d\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}d.$

Диференціальна форма $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(M)$ називається замкнутою, якщо $d\omega =0.$ Простір замкнутих k-форм на многовиді M позначається $Z^k(M).$

Диференціальна форма $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(M)$ називається точною, якщо існує диференціальна форма $\overline{\omega }\in {\mathrm{\Omega }}^{k-1}(M),$ така, що $\omega =d\overline{\omega }.$ Простір точних k-форм на многовиді M позначається $B^k(M).$

Множини $Z^k(M)$ і $B^k(M)$ є дійсними векторними просторами і до того ж з включення $\mathrm{I}\mathrm{m}d\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}d.$ випливає, що простір точних форм є підпростором простору замкнутих форм.

Тому можна визначити фактор-простір

$H_{dR}^k(M)=Z^k(M)/B^k(M).$

$H_{dR}^k(M)$ називається когомологічною групою де Рама порядку k.

Дві замкнуті форми ${\omega }_1,{\omega }_2\in Z^k(M)$ належать одному класу еквівалентності $[\omega ]\in H_{dR}^k(M)$ тоді й лише тоді, коли їх різниця є точною диференціальною формою: ${\omega }_1-{\omega }_2\in B^k(M).$

Розмірність простору $H_{dR}^k(M)$, якщо вона є скінченною (це справедливо зокрема для когомологічних груп довільного порядку для компактних многовидів) називається k-м числом Бетті.

Когомології де Рама для деяких просторів

Нижче подані значення когомологій де Рама для деяких простих і важливих многовидів.

Значення $H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^0(M)$

Для довільного многовиду з n компонентами зв'язності справедливе твердження:

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^0(M)\cong {𝐑}^n.$

Евклідів простір

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k({ℝ}^n)\simeq \{\begin{array}{cc}ℝ& k=0,\\ 0& k>0.\end{array}$

Шаблон:Math-сфера

Для [[Сфера|Шаблон:Math-сфери]], Sⁿ, а також для її добутку з гіперкубом, можна легко обчислити когомології де Рама. Нехай Шаблон:Math, і Шаблон:Mvar — відкритий інтервал дійсних чисел. Тоді

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(S^n\times I^m)\simeq \{\begin{array}{cc}ℝ& k=0,n,\\ 0& k\ne 0,n.\end{array}$

Шаблон:Math-тор

Для Шаблон:Math когомології де Рама для Шаблон:Math-тора рівні

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(T^n)\simeq {ℝ}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}.$

Проколотий евклідів простір

Проколотий евклідів простір — евклідів простір з видаленим початком координат.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k({ℝ}^n\setminus \{\overrightarrow{0}\})& \simeq \{\begin{array}{cc}ℝ& k=0,n-1\\ 0& k\ne 0,n-1\end{array}\\ & \simeq H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(S^{n-1})\end{array}$

Стрічка Мебіуса

Для стрічки Мебіуса:

$H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(M)\simeq H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^k(S^1).$

Теорема де Рама

Сингулярні когомології

Розглянемо тепер многовид M з гладкою триангуляцією, тобто гомеоморфізмом $h:[K]\to M,$ де [K] — деякий симпліційний комплекс, так що для будь-якого симплекса $s\in [K]$ для замикання симплекса [s] існує окіл U, що містить [s] і $h(U)\subset M$ є гладким підмноговидом в M. Тоді M стає сингулярним комплексом і на ньому можна визначити коланцюговий комплекс (див. статтю Сингулярні гомології):

$0\to C^0(M,ℝ)\stackrel{{\partial }^{*}}{\to }{C}^1(M,ℝ)\stackrel{{\partial }^{*}}{\to }{C}^2(M,ℝ)\stackrel{{\partial }^{*}}{\to }{C}^3(M,ℝ)\to \cdots .$

Елементами $C^k(M,ℝ)$ є лінійні функціонали на просторі формальних сум сингулярних симплексів розмірності k.

Як і для когомологій де Рама ${\partial }^{*}\circ {\partial }^{*}=0,$ а тому можна аналогічно ввести простори $Z^k(M,ℝ),B^k(M,ℝ)$ і $H^{k}s(M,ℝ)=Z^k(M,ℝ)/B^k(M,ℝ).$

Останні простори називаються сингулярними когомологіями. На відміну від когомологій де Рама, визначення яких здійснено за допомогою диференційовної структури на многовиді, визначення сингулярних когомологій — суто топологічне. Попри це ці когомології є ізоморфними.

Ізоморфізм когомологій де Рама і сингулярних когомологій

Нехай маємо многовид M з гладкою триангуляцією і з визначеними як вище когомологіями де Рама і сингулярною. Введемо тепер лінійне відображення $\int :H_{dR}^k(M)\to H^{k}s(M,ℝ)$ визначене для всіх гомологічних груп одного порядку. Для цього достатньо визначити гомоморфізми $\int :{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to C^k(M,ℝ),$ що задовольняють рівності ${\partial }^{*}\circ \int =\int \circ d.$

Дійсно тоді $\int (Z^k(M))\subset Z^k(M,ℝ)$ і $\int (B^k(M))\subset B^k(M,ℝ),$ тож гомоморфізм $H_{dR}^k(M)\to H^{k}s(M,ℝ)$ буде коректно визначений.

Для диференціальної форми $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(M)$ значенням $\int (\omega )$ має бути лінійний функціонал на множині формальних сум орієнтовних сингулярних симплексів розмірності k. Зважаючи на властивості лінійності цей функціонал можна задати лише на базових орієнтовних сингулярних. З визначення триангуляції многовида кожен такий симплекс <s> є частиною деякого підмноговида в M. На цьому підмноговиді можна визначити звуження $\omega$ і тоді прийняти:

$\int (\omega )<s>=\underset{s}{\int }\omega .$

Рівності ${\partial }^{*}\circ \int =\int \circ d$ при подібному визначенні є простими наслідками теореми Стокса.

Теорема де Рама стверджує, що відображення $\int :H_{dR}^k(M)\to H^{k}s(M,ℝ)$ визначене вище є ізоморфізмом між гомологіями де Рама і сингулярними гомологіями для всіх k.

Алгебраїчні многовиди

Визначення

Аналогічно як у випадку гладкого многовида для кожного алгебраїчного многовида $X$ над полем $k$ можна визначити комплекс регулярних диференціальних форм.

Групами когомологій де Рама многовида $X$ называються групи когомологій $H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^p(X/k)$.

Часткові випадки когомологій де Рама

• Якщо $X$ є гладким і повним многовидом, а характеристика поля $\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}k=0$, то когомології де Рама є когомологіями Вейля.
• Якщо многовид $X$ є гладким афінним многовидом, а поле $k=ℂ$, то справедливим є аналог теореми де Рама:

  $H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^p(X/k)\cong H^p(X_{an},ℂ),$

де $X_{an}$ — комплексний аналітичний многовид, що відповідає многовиду $X$.

• Наприклад якщо $X$ — доповнення до алгебраїчної гіперповерхні в $P^n(ℂ)$, то когомології $H^p(X,ℂ)$ можна обрахувати за допомогою раціональних диференціальних форм на $P^n(ℂ)$ с полюсами на цій гіперповерхні.

Відносні когомології де Рама

Для будь-якого морфізму $f:X\to S$ можна визначити так званий відносний комплекс де Рама

$\sum _{p⩽0}\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}_{X/S}^p),$

і відповідні відносні когомології де Рама $H_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^p(X/S)$.

У випадку якщо многовид $X$ є спектром кільця $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$, а $S=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}B$, то відносний комплекс де Рама рівний $\mathrm{\Lambda }{\mathrm{\Omega }}_{A/B}^1$.

Когомології ${\mathscr{H}}_{\mathrm{d}\mathrm{R}}^p(X/S)$ комплексу пучків $\sum _{p⩽0}{f}_{*}{\mathrm{\Omega }}_{X/S}^p$ на $S$ називаються пучками відносних когомологій де Рама. Якщо $f$ — власний морфізм, то ці пучки когерентні на $S$.

Див. також

• Диференціальна форма
• Симпліційний комплекс
• Сингулярні гомології

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book