Квадратури Гауса

В обчислювальній математиці, квадратурні формули використовують для апроксимації визначеного інтеграла заданої функції. Зазвичай являють собою скінченну суму зважених значень функції в певних точках (вузлах) з області інтегрування. (більше про квадратурні формули див. чисельне інтегрування) n-точковою квадратурою Гаусса, або квадратурною формулою Гаусса (на честь Карла Гаусса), називається формула

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\omega (x)f(x)dx\approx \sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i).$

що обчислює точне значення інтегралів для поліномів порядку не вище 2n − 1 з відповідним вибором вузлів x_i і ваг w_i при i = 1, …, n.

Для знаходження вузлів і ваг квадратури використовують ортогональні поліноми на інтервалі інтегрування. Вибираючи різні поліноми для різних ваг отримують різні набори вузлів і вагових коефіцієнтів. Для найпоширеніших систем зазвичай виведені аналітичні формули, тому, щоб обчислити інтеграл на довільному проміжку, можна зробити заміну змінних, і використовувати стандартні квадратури. (див. Заміна змінних)

Формули основних квадратур

В наступній таблиці наведено найпоширеніші варіанти ваг і відповідних поліномів та інтервалів інтегрування

Інтервал	ω(x)	Ортогональні поліноми	Дивіться…
[−1, 1]	$1$	Поліноми Лежандра	Квадратури Гаусса — Лежандра
(−1, 1)	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	Поліноми Чебишова (першого роду)	Квадратури Гаусса — Чебишова
[−1, 1]	$\sqrt{1-x^2}$	Поліноми Чебишова (другого роду)	Квадратури Гаусса — Чебишова
(−1, 1)	$(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta },\alpha ,\beta >-1$	Поліноми Якобі	Квадратури Гаусса — Якобі
[0, ∞)	$e^{-x}$	Поліноми Лаґерра	Квадратури Гаусса — Лаґерра
[0, ∞)	$x^{\alpha }{e}^{-x}$	Узагальнені поліноми Лаґерра	Квадратури Гаусса — Лаґерра
(−∞, ∞)	$e^{-x^2}$	Поліноми Ерміта	Квадратури Гаусса — Ерміта

Квадратури Гаусса — Лежандра

Один з найпоширеніших випадків, коли $\omega (x)=1$, тоді для знаходження вузлів і ваг використовують поліноми Лежандра P_n(x), а метод також називають квадратурою Гаусса — Лежандра. Вузли знаходять, як корені поліномів P_n(x). Аналітичного співвідношення для них немає, а для вагових коефіцієнтів n-го порядку формула має вигляд:

$w_i=\frac{2}{(1-x_i^2)[P{\text{'}}_n(x_i){]}^2}.$

Значення для деяких квадратур низького порядку наведено в таблиці:

Кількість вузлів, n	Точні значення		Заокруглені значення
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
1	$0$	$2$	0	2
2	$\pm \sqrt{1/3}$	$1$	±0.57735027	1
3	$0$	$\frac{8}{9}$	0	0.88888889
	$\pm \sqrt{3/5}$	$\frac{5}{9}$	±0.77459667	0.55555556
4	$\pm \sqrt{(3-2\sqrt{6/5})/7}$	$\frac{18+\sqrt{30}}{36}$	±0.33998104	0.65214515
	$\pm \sqrt{(3+2\sqrt{6/5})/7}$	$\frac{18-\sqrt{30}}{36}$	±0.86113631	0.34785485
5	0	$\frac{128}{225}$	0	0.56888889
	$\pm \frac{1}{3}\sqrt{5-2\sqrt{10/7}}$	$\frac{322+13\sqrt{70}}{900}$	±0.53846931	0.47862867
	$\pm \frac{1}{3}\sqrt{5+2\sqrt{10/7}}$	$\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$	±0.90617985	0.23692689

Квадратури Гаусса — Чебишова

Для обчислення інтегралів на проміжку [-1;1] у випадку вагової функції $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ використовують поліноми Чебишова першого роду T_n, вузли й ваги будуть задані співвідношеннями:

$x_i=\cos \left(\frac{2i-1}{2n}\pi \right)$

$w_i=\frac{\pi }{n}$

Коли ж $w(x)=\sqrt{1-x^2}$ використовують поліноми Чебишова другого роду U_n, а вузли й ваги можна знайти зі співвідношень:

$x_i=\cos \left(\frac{i}{n+1}\pi \right)$

$w_i=\frac{\pi }{n+1}{\sin }^2\left(\frac{i}{n+1}\pi \right).$

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n	поліноми першого роду		поліноми другого роду
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
1	0	$\pi$	0	$\frac{\pi }{2}$
2	$\pm \sqrt{2}/2$	$\frac{\pi }{2}$	$\pm 1/2$	$\frac{\pi }{4}$
3	0	$\frac{\pi }{3}$	0	$\frac{\pi }{4}$
	$\pm \sqrt{3}/2$		$\pm \sqrt{2}/2$	$\frac{\pi }{8}$
4	$\pm \sqrt{2+\sqrt{2}}/2$	$\frac{\pi }{4}$	$\pm (\sqrt{5}+1)/4$	$\pi \frac{5-\sqrt{5}}{40}$
	$\pm \sqrt{2-\sqrt{2}}/2$		$\pm (\sqrt{5}-1)/4$	$\pi \frac{5+\sqrt{5}}{40}$
5	0	$\frac{\pi }{5}$	0	$\frac{\pi }{6}$
	$\pm \sqrt{10+2\sqrt{5}}/4$		$\pm \sqrt{3}/2$	$\frac{\pi }{24}$
	$\pm \sqrt{10-2\sqrt{5}}/4$		$\pm 1/2$	$\frac{\pi }{12}$

Квадратури Гаусса — Якобі

Для вагової функції $w(x)=(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }$ де α і β > −1 використовують поліноми Якобі P_n^(α,β)(x). В такому разі, вагові коефіцієнти можна знайти зі співвідношення:

$w_i=-\frac{2n+\alpha +\beta +2}{n+\alpha +\beta +1}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(n+\beta +1)}{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +\beta +1)(n+1)!}\frac{2^{\alpha +\beta }}{P{\text{'}}_n(x_i)P_{n+1}(x_i)},$

Квадратури Гаусса — Лаґерра

Шаблон:Докладніше Щоб порахувати інтеграл $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}f(x)dx.$ можна скористатись поліномами Лаґерра L_n. Вузли будуть коренями полінома L_n, а ваги задані формулою:

$w_i=\frac{x_i}{(n+1{)}^2[L_{n+1}(x_i){]}^2}.$

В більш загальному випадку $w(x)=x^{\alpha }{e}^{-x}$ використовують узагальнені поліноми Лаґерра L_n^(α)

Квадратури Гауса — Ерміта

Для обчислення інтегралу $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}f(x)dx$ вузли квадратури x_i шукають як розв'язки поліномів Ерміта (фізичної версії) H_n(x), а відповідні ваги w_i можна знайти:

$w_i=\frac{2^{n-1}n!\sqrt{\pi }}{n^2[H_{n-1}(x_i){]}^2}$

Формули деяких модифікованих квадратур

Окрім різних вагових функцій і інтервалів інтегрування, для знаходження вузлів і ваг можуть накладатись і інші додаткові умови.

Квадратури Гаусса — Радау

Квадратурою Гаусса — Радау (або квадратура Радау) називають таку n точкову квадратуру, яка точна для поліномів порядку не вище 2n-3, але початкова точка інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n-1 вузол. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією представляється у вигляді:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=w_{1}f(-1)+\sum _{i=2}^n{w}_{i}f(x_i)+E.$

Невідомі вузли x_i для i = 2, …, n є коренями полінома $\frac{P_{n-1}(x)+P_n(x)}{1+x}$, де P_k, k-й поліном Лежандра.

Вага для першого вузла $w_1=\frac{2}{n^2}$, решта визначаються за формулою:

$w_i=\frac{1-x_i}{[n{P}_{n-1}(x_i){]}^2}=\frac{1}{(1-x_i)[P_{n-1}^{\text{'}}(x_i){]}^2}$

Залишковий член:

$E=\frac{2^{2n-1}n[(n-1)!{]}^4}{[(2n-1)!{]}^3}{f}^{(2n-1)}(\xi ),(-1<\xi <1).$

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n	Точні значення		Заокруглені значення
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
2	$-1$	$\frac{1}{2}$	-1	0.5
	$1/3$	$\frac{3}{2}$	0.33333333	1.6
3	$-1$	$\frac{2}{9}$	-1	0.22222222
	$\frac{1-\sqrt{6}}{5}$	$\frac{16+\sqrt{6}}{18}$	-0.28989795	1.02497165
	$\frac{1+\sqrt{6}}{5}$	$\frac{16-\sqrt{6}}{18}$	0.68989795	0.75280613
4			-1	0.125
			-0.575319	0.657689
			0.181066	0.776387
			0.822824	0.440924
5			-1	0.08
			-0.72048	0.446208
			-0.167181	0.623653
			0.446314	0.562712
			0.885792	0.287427

Квадратури Гаусса — Лобатто

Також відомі як квадратури Лобатто, названі на честь нідерландського математика Рехюла Лобатто. Це такі n точкові квадратури, які точні для поліномів порядку не вище 2n – 3, але початкова і кінцева точки інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n – 2 вузли. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=w_{1}f(-1)+w_{n}f(1)+\sum _{i=2}^{n-1}{w}_{i}f(x_i)+E_n.$

Вузли x_i для i = 2, …, n-1 є i–1-ми коренями полінома P'_n-1.

Перша й остання ваги $w_{1,n}=\frac{2}{n(n-1)}$, а решта:

$w_i=\frac{2}{n(n-1)[P_{n-1}(x_i){]}^2}(x_i\ne \pm 1).$

Залишок у вигляді:

$E_n=\frac{-n(n-1{)}^3{2}^{2n-1}[(n-2)!{]}^4}{(2n-1)[(2n-2)!{]}^3}{f}^{(2n-2)}(\xi ),(-1<\xi <1)$

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n	Точні значення		Заокруглені значення
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
$3$	$0$	$\frac{4}{3}$	0	1.33333333
	$\pm 1$	$\frac{1}{3}$	±1	0.33333333
$4$	$\pm \sqrt{1/5}$	$\frac{5}{6}$	±0.44721360	0.83333333
	$\pm 1$	$\frac{1}{6}$	±1	0.16666667
$5$	$0$	$\frac{32}{45}$	0	0.71111111
	$\pm \sqrt{3/7}$	$\frac{49}{90}$	0.65465367	0.54444444
	$\pm 1$	$\frac{1}{10}$	±1	0.1
$6$	$\sqrt{(7-2\sqrt{7})/21}$	$\frac{14+\sqrt{7}}{30}$	0.28523151	0.55485838
	$\sqrt{(7+2\sqrt{7})/21}$	$\frac{14-\sqrt{7}}{30}$	0.76505532	0.37847496
	$\pm 1$	$\frac{1}{15}$	±1	0.06666667

Зміна інтервалу інтегрування

Перш ніж застосувати квадратуру до інтеграла на відрізку [a, b] він має бути трансформований в інтеграл на відрізку [−1, 1]. Для цього можна здійснити перетворення координат наступним чином:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\frac{b-a}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(\frac{b-a}{2}z+\frac{a+b}{2})dz.$

Застосувавши квадратуру Гаусса отримаємо наступну апроксимацію:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}\sum _{i=1}^n{w}_{i}f(\frac{b-a}{2}{z}_i+\frac{a+b}{2}).$

Див. також

• Чисельне інтегрування
• Метод трапецій
• Метод Сімпсона

Джерела

• Шаблон:Книга