Квадратична функція однієї змінної

Шаблон:Otheruses У математиці, квадратична функція — це поліноміальна функція з старшим членом другого порядку, тобто функція форми $f(x)=a{x}^2+bx+c,a\ne 0$. Графіком ${\mathrm{\Gamma }}_f$ квадратичної функції служить парабола з віссю, паралельною осі $Oy$. При $b=c=0$ вершина параболи опиняється в точці $(0,0)$.

$f(x)=x^2-x-2$

Нулі функції

Нулі квадратичної функції

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

це значення x такі, що f(x) = 0.

Коли коефіцієнти a, b і c, — дійсні чи комплексні, тоді корені

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a},$

де дискримінант визначений як

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac.$

Властивості

$f(x)=a{x}^2,$$a=\{0.1,0.3,1,3\}$

Загальні властивості

1. Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма.
2. При $b\ne 0$ функція не є парною і не є непарною. При $b=0$ квадратична функція - парна.
3. Квадратична функція неперервна і диференційована на всій області визначення.
4. Функція має єдину критичну точку $x=-\frac{b}{2a}$.
5. Область зміни функції: при $a>0$ - безліч значень функції $[-\frac{b^2-4ac}{4a};+\mathrm{\infty })$; при $a<0$ - безліч значень функції $(-\mathrm{\infty };-\frac{b^2-4ac}{4a}]$.

$f(x)=x^2+bx,$ $b=\{1,2,3,4\}$

$f(x)=x^2+bx,$ $b=\{-1,-2,-3,-4\}$

Вершина

У загальному випадку вершина параболи лежить в точці $M_0(x_0;y_0);x_0=-\frac{b}{2a};y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}$. Якщо $a>0$ , То гілки параболи спрямовані вгору, якщо $a<0$ , То гілки параболи спрямовані вниз.

Екстремуми і перегини

Якщо $a>0$, то в точці $x=-\frac{b}{2a}$ функція має мінімум. При $x<-\frac{b}{2a}$ функція монотонно спадає, при $x>-\frac{b}{2a}$ монотонно зростає.

1. Якщо $a<0$, то в точці $x=-\frac{b}{2a}$ функція має максимум. При $x<-\frac{b}{2a}$ функція монотонно зростає, при $x>-\frac{b}{2a}$ монотонно спадає.
2. Точка графіка квадратичної функції з абсцисою $x=-\frac{b}{2a}$ і ординатою $y=-\frac{b^2-4ac}{4a}$ називається вершиною параболи.

Графік

1. Графік квадратичної функції перетинається з віссю $Oy$ в точці $y=c$. У випадку, якщо $b^2-4ac>0$, графік квадратичної функції перетинає вісь $Ox$ в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо $b^2-4ac=0$(квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції торкається осі 0x в точці $x=-\frac{b}{2a}$; якщо $b^2-4ac<0$, перетину з віссю $Ox$ немає.
2. З запису квадратичної функції також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої $x=-\frac{b}{2a}$ - образу осі ординат при паралельному перенесенні $r=-\frac{b}{2a};0)$.
3. Графік функції $F(x)=a{x}^2+bx+c$ (або $f(x)=a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$) може бути отриманий з графіка функції $f(x)=x^2$ наступними перетвореннями :
   1. паралельним перенесенням $r=(-\frac{b}{2a};0)$;
   2. стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;
   3. паралельним перенесенням $r=(0;-\frac{b^2-4ac}{4a})$.

Похідна

$y^{\prime }={\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$.

Первісна

$\int x^{2}dx=\frac{1}{3}{x}^3+C$

Див. також

• Квадратичне програмування

Посилання

• Шаблон:УСЕ-4