Закон Стефана — Больцмана

Шаблон:Випромінювання чорного тіла Закон Стефана — Больцмана — інтегральний закон випромінювання абсолютно чорного тіла, який стверджує, що енергія випромінювання з одиниці площі поверхні абсолютно чорного тіла за одиницю часу пропорційна четвертому степеню ефективної температури випромінювального тіла.

Загальний вигляд

Загальна енергія теплового випромінювання з одиниці площі поверхні за одиницю часу визначається як:

$F=\sigma T^4$,

де $F$ — потужність на одиницю площі поверхні випромінювання, а

$\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15c^2{h}^3}\simeq 5,6704\cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) — стала Стефана — Больцмана.

Доведення закону

Інтесивність випромінювання енергії абсолютно чорним тілом залежно від частоти випромінювання визначається законом Планка як:

$B(\nu ,T)=\frac{2h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1},$ де

$B(\nu ,T)d\nu$ становить кількість випроміненої енергії з одиниці площі поверхні за одиницю часу на одиницю тілесного кута на частоті ν абсолютно чорним тілом з температурою T;

$h$ — стала Планка;

$c$ — швидкість світла;

$k$ — стала Больцмана.

Потік випромінювання визначається через інтенсивність як $F(\nu ,T)=\pi B(\nu ,T)$.

Відповідно, щоб визначити повну енергію випромінену на всіх частотах, потрібно проінтегрувати вираз для потоку випромінювання в межах усіх можливих значень частоти:

$F(T)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\pi B(\nu ,T)d\nu =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2\pi h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}d\nu =\frac{2\pi h}{c^2}{\left(\frac{kT}{h}\right)}^4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{e^x-1}dx,$

де виконано заміну змінної інтегрування $\nu =\frac{kTx}{h}$ й, відповідно, $d\nu =\frac{kT}{h}dx$.

Отриманий інтеграл є табличним і дорівнює $\frac{{\pi }^4}{15}$, тому:

$F(T)=\frac{2h{\pi }^5}{15c^2}{\left(\frac{kT}{h}\right)}^4=\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15c^2{h}^3}{T}^4=\sigma T^4,$

де $\sigma$ — стала Стефана — Больцмана.

Джерела

• Основні закони теплового випромінювання — Основи теплотехніки та гідравліки Шаблон:Webarchive
• Закон Стефана Больцмана. Закон Віна. — studopedia.com.ua Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Посилання

• Шаблон:YouTube, канал НДІ астрономії ХНУ