Дуальні числа

Дуальні числа (комплексні числа параболічного типу) — гіперкомплексні числа виду $a+\epsilon b$, де $a,b$ — дійсні числа; $\epsilon$ — уявна одиниця, така що ${\epsilon }^2=0$.

Множина всіх дуальних чисел утворює двовимірну комутативну асоціативну алгебру з одиницею над полем дійсних чисел $ℝ$. На відміну від поля комплексних чисел, ця алгебра містить дільники нуля, причому всі вони мають вигляд $a\epsilon$.

Дуальні числа — одна із двовимірних гіперкомплексних систем поряд з комплексними та подвійними числами.

Визначення

Алгебраїчне визначення

Дуальні числа — це пари дійсних чисел виду $(a,b)$, для яких визначені операції множення і додавання за правилами:

$(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$

$(a_1,b_1)*(a_2,b_2)=(a_1{a}_2,a_1{b}_2+a_2{b}_1)$

Числа виду $(a,0)$ ототожнюються при цьому з дійсними числами, а число $(0,1)$ позначається $\epsilon$, після чого визначаючі тотожності приймають вигляд:

${\epsilon }^2=0,(a,b)=a+b\epsilon$

$(a_1+\epsilon b_1)+(a_2+\epsilon b_2)=(a_1+a_2)+\epsilon (b_1+b_2),$

$(a_1+\epsilon b_1)(a_2+\epsilon b_2)=(a_1{a}_2)+\epsilon (a_1{b}_2+a_2{b}_1).$

Матричне представлення

Дуальні числа можна представити як матриці з дійсних чисел, при цьому додаванню дуальних чисел відповідає додавання матриць, а множенню чисел — множення матриць. Покладемо $\epsilon =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. Тоді довільне дуальне число набуде вигляду

$a+b\epsilon =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$.

Показникова форма

Для експоненти з дуальним показником вірною є наступна рівність:

${\mathrm{e}}^{\epsilon x}=1+\epsilon x$

Дана формула дозволяє представити будь-який дуальне число в показниковій формі і знайти його логарифм по дійсній основі. Вона може бути доведена розкладанням експоненти в ряд Тейлора:

${\mathrm{e}}^{\epsilon x}=1+\epsilon x+\frac{(\epsilon x{)}^2}{2!}+\frac{(\epsilon x{)}^3}{3!}+\cdots$

При цьому всі члени вище першого порядку дорівнюють нулю.

Корені

Корінь n-го ступеня з числа виду $a+\epsilon b$ визначається як:

$\sqrt[n]{a}+\frac{\epsilon b}{n\sqrt[n]{a^{n-1}}}$

Диференціювання

Дуальні числа дозволяють проводити автоматичне диференціювання функцій. Розглянемо для початку дійсний многочлен виду $P(x)=p_0+p_{1}x+p_2{x}^2+\dots +p_n{x}^n$. Природно продовжити його область визначення з дійсних чисел на дуальні числа. Нескладно переконатися, що при цьому $P(a+b\epsilon )=P(a)+b{P}^{\prime }(a)\epsilon$ — похідна многочлена $P$ по $x$. Після цього є природним продовжити область визначення всіх трансцендентних функцій на площину дуальних чисел за правилом $f(a+b\epsilon )=f(a)+b{f}^{\prime }(a)\epsilon$, де $f^{\prime }$ — похідна функції $f$. Таким чином, виконуючи обчислення не над дійсними, а над дуальним числами, можна автоматично отримувати значення похідної функції в точці. Особливо зручно розглядати таким чином композиції функцій.

Можна провести аналогію між дуальним числами і нестандартним аналізом. Уявна одиниця ε кільця дуальних чисел багато в чому подібна до нескінченно малого числа з нестандартного аналізу: будь-який степінь (вище першого) $\epsilon$ у точності дорівнює 0, у той час як будь-який степінь нескінченно малого числа приблизно дорівнює 0 (є нескінченно малою більш високого порядку). Значить, якщо $\delta$ — нескінченно мале число, то з точністю до $O({\delta }^2)$ гіпердійсні числа ізоморфні дуальним.

Див. також

• Бікватерніони

Література

• Шаблон:Кантор.Солодовников
• Шаблон:КнигаШаблон:Ref-ru