Дробовий броунівський рух

У теорії ймовірностей, дробовий броунівський рух, також відомий як фрактальний броунівський рух, є узагальненням броунівського руху.

На відміну від класичного броунівського руху, прирости дробового не обов’язково будуть незалежними.

Дробовий броунівський рух — це гауссівський процес з неперервним часом $B_H(t)$ на $[0,T]$, який починається з нуля, має нульове математичне сподівання для всіх $t$ з $[0,T]$, і має наступну коваріаційну функцію:

$E[B_H(t)B_H(s)]=\frac{1}{2}(|t{|}^{2H}+|s{|}^{2H}-|t-s{|}^{2H}),$

де $H$ — це дійсне число з $(0,1)$, яке називають індексом або параметром Херста, асоційованим із $B_H(t)$.

Індекс Херста визначає грубість траекторій процесу, при цьому більше значення призводить до більш плавного руху.

Вперше дробовий броунівський рух з'являється у праці Мандельброта і Ван Несса (1968).

Значення $H$ визначає тип дробового броунівського руху:

• якщо $H=1/2$, то процес є звичайним броунівським рухом і має незалежні прирости;

• якщо $H>1/2$, то прирости процесу мають додатню кореляцію;

• якщо $H<1/2$, то прирости процесу від'ємну кореляцію.

Процес приростів, $X(t)=B_H(t+1)-B_H(t)$, називають дробовим гаусівським шумом.

Як і звичайний броунівський рух, названий на честь біолога 19 століття Роберт Броуна; дробовий гаусівський шум названий на честь математика Карла Фрідріха Гаусса.

Історя та означення

До появи дробового броунівського руху Шаблон:Harvtxt використовував Шаблон:Нп для визначення процесу

$B_H(t)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(H+1/2)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(t-s{)}^{H-1/2}\mathrm{d}B(s)$

де інтегрування відбувається відносно Шаблон:Нп $dB(s)$.

Цей інтеграл виявляється погано придатним для застосувань дробового броунівського руху Шаблон:Harv.

Натомість треба використати інший дробовий інтеграл за білим шумом, який називають інтегралом Вейля

$B_H(t)=B_H(0)+\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(H+1/2)}\{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}[(t-s{)}^{H-1/2}-(-s{)}^{H-1/2}]\mathrm{d}B(s)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}(t-s{)}^{H-1/2}\mathrm{d}B(s)\}$

для $t>0$ (та аналогічно для $t<0$).

Властивості

Самоподібність

Процес є самоподібним, оскільки в термінах розподілу імовірностей:

$B_H(at)\sim |a{|}^H{B}_H(t).$

Ця властивість пов’язана з тим, що коваріаційна функція є однорідною порядку $2H$, і може розглядатися як фрактальна властивість.

Стаціонарність приростів

Процес має стаціонарні прирости:

$B_H(t)-B_H(s)\sim B_H(t-s).$

Дробовий броунівський рух можна визначити іншим (еквівалентним) чином як самоподібний гауссівський процес із нульовим середнім, що починається з нуля та має стаціонарні прирости.

Залежність на великих проміжках

Для $H>1/2$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}E[B_H(1)(B_H(n+1)-B_H(n))]=\mathrm{\infty }.$

Регулярність

Траєкторії дробового броунівського руху майже напевно не диференційовні.

Тим не менш, майже всі траєкторії є локально гельдерові будь-якого порядку, строго меншого за індекс Херста $H$: для кожної такої траєкторії, для будь-якого $T>0$ та для будь-якого $\epsilon >0$ існує (випадкова) константа $c$ така, що для всіх $0<s,t<T$

$|B_H(t)-B_H(s)|\le c|t-s{|}^{H-\epsilon }.$

Траєкторії

Траєкторії дробового броунівського руху можна моделювати на комп'ютері , проте це будуть лише наближення, які можна сприймати як скінченний набір значень процесу. Три траєкторії з 1000 точок та індексом Херста рівним $0.75$ подано нижче.

$H=0.75$, траєкторія 1

$H=0.75$ траєкторія 2

$H=0.75$ траєкторія 3

Нижче подано траєкторії з 1000 точок, але для різних індексів Херста. Чим більше індекс, тим гладкіша крива утворюється. Це відбувається в наслідок корельованості приростів.

"H" = 0.15

"H" = 0.55

"H" = 0.95

Перший спосіб моделювання

Траєкторії можна змоделювати за допомогою методів генерації стаціонарних гаусових процесів з відомою коваріаційною функцією.

Найпростіший спосіб покладається на розклад Холецького коваріаційної матриці (пояснено нижче), яка на сітці розміром $n$ має складність порядку $O(n^3)$. Більш складним, але швидшим для обчислень є метод Шаблон:Harvtxt, який застосовує циркулянт.

Припустімо, що ми хочемо змоделювати значення процесу в моменти часу $t_1,\dots ,t_n$ за допомогою розкладу Холецького.

• Сформуємо матрицю $\mathrm{\Gamma }=(R(t_i,t_j),i,j=1,\dots ,n)$, де $R(t,s)=\frac{1}{2}(s^{2H}+t^{2H}-|t-s{|}^{2H})$.

• Обчислимо $\mathrm{\Sigma }$ --- квадратний корінь з матриці $\mathrm{\Gamma }$, тобто ${\mathrm{\Sigma }}^2=\mathrm{\Gamma }$. Грубо кажучи, $\mathrm{\Sigma }$ — це матриця «стандартного відхилення», пов’язана з коваріаційною матрицею $\mathrm{\Gamma }$.

• Побудуємо вектор $v$ з $n$ чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.

• Якщо ми визначимо $u=\mathrm{\Sigma }v$, то $u$ є шуканим наближенням.

Розклад Холецького потрібен для обчислення $\mathrm{\Sigma }$. Альтернативний метод використовує власні значення матриці $\mathrm{\Gamma }$:

• Оскільки $\mathrm{\Gamma }$ є симетричною, невід'ємно визначеною матрицею, то всі власні значення $,{\lambda }_i$ з $\mathrm{\Gamma }$ задовільняють ${\lambda }_i>0$, ($i=1,\dots ,n$ ).

• Нехай $\mathrm{\Lambda }$ буде діагональною матрицею власних значень, тобто ${\mathrm{\Lambda }}_{ij}={\lambda }_i{\delta }_{ij}$, де ${\delta }_{ij}$ — символ Кронекера. Ми визначаємо ${\mathrm{\Lambda }}^{1/2}$ як діагональну матрицю з елементами ${\lambda }_i^{1/2}$, тобто ${\mathrm{\Lambda }}_{ij}^{1/2}={\lambda }_i^{1/2}{\delta }_{ij}$.

Зауважимо, що результат є дійсним числом, оскільки ${\lambda }_i>0$.

• Нехай $v_i$ є власним вектором, пов’язаним із власним значенням ${\lambda }_i$. Визначимо $P$ як матрицю, $i$-й стовпець якої є власним вектором $v_i$.

Оскільки власні вектори є лінійно незалежними, матриця $P$ є оборотною.

• З цього випливає, що $\mathrm{\Sigma }=P{\mathrm{\Lambda }}^{1/2}{P}^{-1}$, оскільки $\mathrm{\Gamma }=P\mathrm{\Lambda }{P}^{-1}$.

Другий спосіб моделювання

Відомо також, що

$B_H(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_H(t,s)\mathrm{d}B(s)$

де $B$ - звичайний броунівський рух і

$K_H(t,s)=\frac{(t-s{)}^{H-\frac{1}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(H+\frac{1}{2})}{}_2{F}_1(H-\frac{1}{2};\frac{1}{2}-H;H+\frac{1}{2};1-\frac{t}{s}).$

Де ${}_2{F}_1$ — гіпергеометрична функція.

Скажімо, ми хочемо змоделювати $B_H(t)$ в точках $0=t_0<t_1<\cdots <t_n=T$.

• Побудуємо вектор $n$ чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.

• Помножимо його покомпонентно на $\sqrt{T/n}$, щоб отримати прирости броунівського руху на $[0,T]$. Позначимо цей вектор $(\delta B_1,\dots ,\delta B_n)$.

• Для кожного $t_j$ обчислимо

$B_H(t_j)=\frac{n}{T}\sum _{i=0}^{j-1}\underset{t_i}{\overset{t_{i+1}}{\int }}{K}_H(t_j,s)\mathrm{d}s\delta B_i.$

Цей інтеграл може бути ефективно обчислений за допомогою квадратури Гаусса.

Див. також

• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Мультифрактальна система
• Рожевий шум
• Шаблон:Нп

Література

• Шаблон:Citation.
• Craigmile P.F. (2003), "Simulating a class of stationary Gaussian processes using the Davies–Harte Algorithm, with application to long memory processes", Journal of Times Series Analysis, 24: 505–511.
• Шаблон:Cite thesis
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Perrin E. et al. (2001), "nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises", IEEE Transactions on Signal Processing, 49: 1049-1059. Шаблон:Doi
• Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapter 7: "Self-similar processes" (Chapman & Hall).

Додаткова література

• Шаблон:Citation.